Question

如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn)．

 

（1）證明；      （2）求與所成的角；

（3）證明面面；（4）的體積

Answer 1

（1）證明見解析      （2）直線與所成角為直角   

（3） 證明見解析    （4）1

解析:

（1）∵是正方體，∴面． 

又，  ∴．  

（2）取中點(diǎn)，連結(jié)，．因?yàn)?img border=0 width=17 height=17 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/156/224956.gif">是的中點(diǎn)，所以、平行且相等，又、平行且相等，所以、平行且相等，故是平行四邊形，．

設(shè)與相交于點(diǎn)，則是與所成的角，

因?yàn)?img border=0 width=16 height=17 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/172/224972.gif">是的中點(diǎn)，所以≌，，

從而，即直線與所成角為直角．

（3）由(1)知，由(Ⅱ)知，又，

所以⊥面．

又因?yàn)?img border=0 width=96 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/185/224985.gif">，所以面面．   

（4）連結(jié)，，∵，∴，

∵，面積．

又  ，

∴．

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