Question

設(shè)函數(shù)

   （I）若的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)；

   （II）求實(shí)數(shù)的取值范圍，使得對(duì)任意的，恒有成立，注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。

Answer 1

本題主要考查函數(shù)極值的概念、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理論證能力，分類討論分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。滿分14分。

   （I）解：求導(dǎo)得

因?yàn)?sub>的極值點(diǎn)，

所以

解得經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，

所以

（II）解：①當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a，恒有成立；

②當(dāng)時(shí)，由題意，首先有，

解得，

由（I）知

令

且

又內(nèi)單調(diào)遞增

所以函數(shù)內(nèi)有唯一零點(diǎn)，

記此零點(diǎn)為

從而，當(dāng)時(shí)，

當(dāng)

當(dāng)時(shí)，

即內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，

在內(nèi)單調(diào)遞增。

所以要使恒成立，只要

成立。

由，知

                                  （3）

將（3）代入（1）得

又，注意到函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增，

故。

再由（3）以及函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增，可得

由（2）解得，

所以

綜上，a的取值范圍是