Question

（1）已知：a，b，x均是正數(shù)，且a＞b，求證：1＜

a+x

b+x

＜

a

b

；
（2）當(dāng)a，b，x均是正數(shù)，且a＜b，對(duì)真分?jǐn)?shù)

a

b

，給出類似上小題的結(jié)論，并予以證明；
（3）證明：△ABC中，

sinA

sinB+sinC

+

sinB

sinC+sinA

+

sinC

sinA+sinB

＜2（可直接應(yīng)用第（1）、（2）小題結(jié)論）
（4）自己設(shè)計(jì)一道可直接應(yīng)用第（1）、（2）小題結(jié)論的不等式證明題．

Answer 1

分析：（1）充分利用a＞b這個(gè)條件，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)即可證得；
（2）對(duì)（1）問(wèn)的結(jié)論取倒數(shù)即可得；
（3）欲證原不等式，即證：

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

＜2.利用放縮法進(jìn)行證明即可；
（4）運(yùn)用類比推理的方法得結(jié)論即可．

解答：解：（1）∵a+x＞b+x＞0，∴1＜

a+x

b+x

，
又

a+x

b+x

-

a

b

=

x(b-a)

b(b+x)

＜0，∴1＜

a+x

b+x

＜

a

b

.（3分）
（2）∵a＜b，∴

b

a

＞1，應(yīng)用第（1）小題結(jié)論，
得1＜

b+x

a+x

＜

b

a

，取倒數(shù)，得

b

a

＜

b+x

a+x

＜1.（6分）
（3）由正弦定理，原題?△ABC中，求證：

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

＜2.
證明：由（2）的結(jié)論得，a，b，c＞0，
且

a

b+c

，

b

c+a

，

c

a+b

均小于1，
∴

a

b+c

＜

2a

a+b+c

，

b

c+a

＜

2b

a+b+c

，

c

a+b

＜

2c

a+b+c

，

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

＜

2a

a+b+c

+

2b

a+b+c

+

2c

a+b+c

=2.（10分）
（4）如得出：四邊形ABCD中，求證：

a

b+c+d

+

b

c+d+a

+

c

a+b+d

+

d

a+b+c

＜2.
如得出：凸n邊形A₁A₂A₃┅A_n中，邊長(zhǎng)依次為a₁，a₂，，a_n，求證：

a1

a2+a3++an

+

a2

a1+a3++an

++

an

a1+a2++an-1

＜2.
如得出：{a_n}為各項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，（d≠0），
求證：

a1

a2

+

a2

a3

++

a2n-1

a2n

＜

a2

a3

+

a4

a5

++

a2n

a2n+1

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了不等式的證明、放縮法和類比思想，在證明不等式的時(shí)候，在直接證明遇到困難的時(shí)候，可以利用不等式的傳遞性，把要證明的不等式加強(qiáng)為一個(gè)易證的不等式，即欲證A＞B，我們可以適當(dāng)?shù)恼乙粋�(gè)中間量C作為媒介，證明A＞C且C＞B，從而得到A＞B．我們把這種把B放大到C（或把A縮小到C）的方法稱為放縮法．