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如圖，已知橢圓C：，經過橢圓的右焦點F且斜率為的直線l交橢圓C于A、B兩點，M為線段AB的中點，設O為橢圓的中心，射線OM交橢圓于N點．
（I）是否存在，使對任意，總有成立？若存在，求出所有的值；
（II）若，求實數的取值范圍．
故存在，使,
解：（1）橢圓C：
直線AB：y＝k（x－m）,
，（10k2＋6）x2－20k2mx＋10k2m2－15m2＝0．
設A（x1, y1）、B（x2,y2）,則x1＋x2＝，x1x2＝
則xm＝
若存在，使為ON的中點，∴．
∴，
即N點坐標為．
由N點在橢圓上，則
即5k4－2k2－3＝0．∴或（舍）．
故存在，使．
（2）＝x1x2＋k2（x1－m）（x2－m）
＝（1＋k2）x1x2－k2m（x1＋x2）＋k2m2
＝（1＋k2）·
由得
即k2－15≤－20k2－12，且k≠0．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的兩個焦點為，在橢圓上，且
.
(1)求橢圓方程；
(2)若直線過圓的圓心，交橢圓于兩點，且關于點對稱，求直線的方程.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

(本小題滿分12分)
已知橢圓C的中心在原點、焦點在軸上，橢圓C上的點到焦點的最大值為3，最小值為1．
(Ⅰ)求橢圓C的標準方程；
(Ⅱ)若直線：與橢圓交于不同的兩點M，N(M，N不是左、右頂點)，且以MN為直徑的圓經過橢圓的右頂點A．求證：直線過定點，并求出定點的坐標．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓P的中心O在坐標原點，焦點在軸上，且經過點A（0，），離心率為。
（1）求橢圓P的方程；
（2）是否存在過點E（0，-4）的直線交橢圓P于兩不同點，，且滿足，若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由。

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

橢圓的中心在原點，焦點F在軸上，離心率為，點到F點的距離為，（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓交于不同的兩點M、N兩點，若，求實數的取值范圍。

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

對于曲線C：給出下面四個命題：
①曲線C不可能表示橢圓；
②當時，曲線C表示橢圓；
③若曲線C表示雙曲線，則或
④若曲線C表示焦點在軸上的橢圓，則
其中所有正確命題的序號為______________

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

(本小題滿分13分)

已知橢圓，與直線相交于兩點，且，為坐標原點．
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)若橢圓長軸長的取值范圍是，求橢圓離心率的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知以橢圓的右焦點F為圓心，a為半徑的圓與橢圓的右準線交于不同的兩點，則該橢圓的離心率的取值范圍是                                                              （   ）
A．B．C．D．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知,焦點在y軸上的橢圓的標準方程是           ．

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