Question

（文科）已知函數(shù)f(x)=

1

3

ax3+bx2+2x-1，g(x)=-x2+x+1，若函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）的圖象的一個(gè)公共點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，且兩曲線在點(diǎn)P處的切線互相垂直．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）對(duì)任意x₁，x₂∈[-1，1]，不等式f（x₁）+k＜g（x₂）恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由g(1)=1=f(1)=

1

3

a+b+1⇒a+3b=0．知g'（x）=-2x+1，g'（1）=-1．由兩雙曲線在點(diǎn)P處的切線互相垂直，知f'（1）=1．由此能求出實(shí)數(shù)a，b的值．
（2）由f（x）=-x³+x²+2x-1，對(duì)任意的x₁，x₂∈[-1，1]，f（x₁）+k＜g（x₂）恒成立，知f（x）_max+k＜g（x）_min（x∈[-1，1]），由f'（x）=-3x²+2x+2，知函數(shù)f（x）在[-1，

1- 7

3

]上遞減，在[

1- 7

3

，1]上遞增．由此能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：（文科）解：（1）∵g(1)=1=f(1)=

1

3

a+b+1⇒a+3b=0．
又g'（x）=-2x+1，∴g'（1）=-1．
∵兩雙曲線在點(diǎn)P處的切線互相垂直，
∴f'（1）=1．
∵f'（x）=ax²+2bx+2，
∴f'（1）=a+2b+2=1，
∴

a+3b=0 a+2b+1=0

⇒a=-3，b=1．
（2）∵f（x）=-x³+x²+2x-1
對(duì)任意的x₁，x₂∈[-1，1]，f（x₁）+k＜g（x₂）恒成立，
∴f（x）_max+k＜g（x）_min（x∈[-1，1]），
∵f'（x）=-3x²+2x+2，
則f'（x）＞0得

1- 7

3

＜x＜

1+ 7

3

，
∴函數(shù)f（x）在[-1，

1- 7

3

]上遞減，在[

1- 7

3

，1]上遞增
而f（-1）=-1，f（1）=1，
∴f（x）_max=f（1）=1，
而g(x)=-x2+x+1=-(x-

1

2

)2+

5

4

當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，g（x）_min=g（-1）=1
故1+k＜-1，
k＜-2，
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，考查論證推理能力，綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．