Question

【題目】一張半徑為4的圓形紙片的圓心為， 是圓內(nèi)一個定點，且， 是圓上一個動點，把紙片折疊使得與重合，然后抹平紙片，折痕為，設(shè)與半徑的交點為，當在圓上運動時，則點的軌跡為曲線，以所在直線為軸， 的中垂線為軸建立平面直角坐標系，如圖.

（1）求曲線的方程；

（2）曲線與軸的交點為， （在左側(cè)），與軸不重合的動直線過點且與交于、兩點（其中在軸上方），設(shè)直線、交于點，求證：動點恒在定直線上，并求的方程.

Answer 1

【答案】（1）;（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）由題意垂直平分，所以，結(jié)合橢圓的定義可寫方程.

(2) 設(shè)的方程是，設(shè)， ， ，由可得， . 聯(lián)立直線、的方程： 和，得 ，代入整理即可得解.

試題解析：（1）由題意垂直平分，所以所以的軌跡為以， 為焦點、長軸長為的橢圓，焦距，所以，所以動點的軌跡為曲線的方程是： ．

（2）， ，設(shè)的方程是，設(shè)， ， ，

由得，

所以， ， .

因為在軸上方，∴， ．

直線、的方程分別是： ， ，

聯(lián)立得：

．

∴動點恒在定直線： 上．