【題目】如圖,設(shè)拋物線的焦點為F,點P是半橢圓上的一點,過點P作拋物線C的兩條切線,切點分別為A、B,且直線PA、PB分別交y軸于點M、N.
(1)證明:;
(2)求的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析 (2)
【解析】
(1)設(shè)點P的坐標(biāo)為,由直線PA與橢圓相切,得,要證明,只需證明,即證即可;
(2),,,由(1)易得,代入化簡即可.
(1)由題意知,直線PA的斜率存在且不為0,設(shè)點P的坐標(biāo)為,
直線PA方程為.
令,可知點M的坐標(biāo)為.
由,消去x得.
因為直線與拋物線只有一個交點,
故,即.
因為點F的坐標(biāo)為,
故,.
則.
因此,亦即.
(2)設(shè)直線PB的方程為.
由(1)可知,n滿足方程.
故m,n是關(guān)于t的方程的兩個不同的實根.
所以.
由(1)可知:,同理可得.
故,.
則,
因為,
所以.
因此,的取值范圍是.
【點晴】
本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系,計算量較大,考查學(xué)生的運算求解能力、轉(zhuǎn)化與化歸的思想,是一道中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知極點與平面直角坐標(biāo)系的原點重合,極軸與軸的正半軸重合,直線的參數(shù)方程為(是參數(shù)),曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)直線與曲線交于,兩點,點為曲線上一點,求使面積取得最大值時的點坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某產(chǎn)品的廣告支出(單位:萬元)與銷售收入(單位:萬元)之間有下表所對應(yīng)的數(shù)據(jù):
廣告支出(單位:萬元) | 1 | 2 | 3 | 4 |
銷售收入(單位:萬元) | 12 | 28 | 42 | 56 |
(1)畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖;
(2)求出對的線性回歸方程;
(3)若廣告費為9萬元,則銷售收入約為多少萬元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)安排6名同學(xué)前往4所學(xué)校進(jìn)行演講,要求甲、乙兩同學(xué)不能前往同一個學(xué)校,每個學(xué)校都有人前往,每人只前往一個學(xué)校,則滿足上述要求的不同安排方案數(shù)為________.(用數(shù)字作答)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是連續(xù)的偶函數(shù),且時, 是單調(diào)函數(shù),則滿足的所有之積為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為,離心率為.設(shè)過點的直線與橢圓相交于不同兩點, 周長為.
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)已知點,證明:當(dāng)直線變化時,總有TA與的斜率之和為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】先后2次拋擲一枚骰子,將得到的點數(shù)分別記為,.
(1)求直線與圓相切的概率;
(2)將,,5的值分別作為三條線段的長,求這三條線段能圍成等腰三角形的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個口袋中裝有個白球和個黑球,下列事件中,是獨立事件的是( )
A.第一次摸出的是白球與第一次摸出的是黑球
B.摸出后放回,第一次摸出的是白球,第二次摸出的是黑球
C.摸出后不放回,第一次摸出的是白球,第二次摸出的是黑球
D.一次摸兩個球,共摸兩次,第一次摸出顏色相同的球與第一次摸出顏色不同的球
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