Question

（2013•江蘇一模）某部門要設(shè)計(jì)一種如圖所示的燈架，用來(lái)安裝球心為O，半徑為R（米）的球形燈泡．該燈架由燈托、燈桿、燈腳三個(gè)部件組成，其中圓弧形燈托

EA

，

EB

，

EC

，

ED

所在圓的圓心都是O、半徑都是R（米）、圓弧的圓心角都是θ（弧度）；燈桿EF垂直于地面，桿頂E到地面的距離為h（米），且h＞R；燈腳FA₁，F(xiàn)B₁，F(xiàn)C₁，F(xiàn)D₁是正四棱錐F-A₁B₁C₁D₁的四條側(cè)棱，正方形A₁B₁C₁D₁的外接圓半徑為R（米），四條燈腳與燈桿所在直線的夾角都為θ（弧度）．已知燈桿、燈腳的造價(jià)都是每米a（元），燈托造價(jià)是每米

a

3

（元），其中R，h，a都為常數(shù)．設(shè)該燈架的總造價(jià)為y（元）．
（1）求y關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)θ取何值時(shí)，y取得最小值？

Answer 1

分析：（1）由題意把4根燈腳及燈架寫成是關(guān)于θ的表達(dá)式，運(yùn)用弧長(zhǎng)公式把4根燈托也用θ表示，然后乘以各自的造價(jià)作和即可得到y(tǒng)關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；
（2）對(duì)（1）求出的函數(shù)式進(jìn)行求導(dǎo)計(jì)算，分析得到當(dāng)θ=

π

3

時(shí)函數(shù)取得極小值，也就是最小值．

解答：解：如圖，

（1）延長(zhǎng)EF與地面交于O₁，由題意知：∠A₁FO₁=θ，且FO1=

R

tanθ

，
從而EF=h-

R

tanθ

，A1F=

R

sinθ

，
則y=4θ•R•

a

3

+(h-

R

tanθ

+

4R

sinθ

)a，(θ∈(0，

π

2

))．
（2）y=Ra(

4θ

3

+

4-cosθ

sinθ

)+ha，
設(shè)f(θ)=

4θ

3

+

4-cosθ

sinθ

，
令f′(θ)=

4

3

+

sin2θ-cosθ(4-cosθ)

sin2θ

=

4sin2θ+3-12cosθ

3sin2θ

=

(1-2cosθ)(7+2cosθ)

3sin2θ

=0．
得：1-2cosθ=0，所以θ=

π

3

．
當(dāng)θ∈(0，

π

3

)時(shí)，f^′（θ）＜0．
當(dāng)θ∈(

π

3

，

π

2

)時(shí)，f^′（θ）＞0．
設(shè)θ∈(θ0，

π

2

)，其中tanθ0=

R

h

＜1，∴θ0＜

π

4

．
∴

π

3

∈(θ0，

π

2

)，∴θ=

π

3

時(shí)，y最小．
答：當(dāng)θ=

π

3

時(shí)，燈架造價(jià)取得最小值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，解答此題時(shí)要注意實(shí)際問(wèn)題要注明符合實(shí)際意義的定義域，此題是中檔題．