Question

【題目】已知(a>0)是定義在R上的偶函數，

（1）求實數a的值；

（2）判斷并證明函數在的單調性；

（3）若關于的不等式的解集為，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）函數在上是單調遞增的；（3）.

【解析】

試題（1）由函數為偶函數，得，代入函數表達式，化簡求得，由，得；（2）用定義證明函數在上單調遞增的步驟：設值—作差、變形—判斷符號—得出結論；（3）將不等式轉化為在上恒成立，即，只需求得函數的最小值，代入不等式即可求得m的范圍.

試題解析：解析：(1)因為f(x)為偶函數，所以f(－x)＝f(x)

即＝

∴ex－e－x＝0，

∴(ex－e－x)＝0，

∴a－＝0，即a＝±1.

而a＞0，∴，∴f(x)＝ex＋e－x.

（2）函數在上是單調遞增的.

證明：任取且x1＜x2，

∴f(x)在上是增函數．

（3）由題意，在上恒成立，

則只需

∵f(x)為偶函數，且f(x)在上是增函數∴f(x)在(－∞，0)上是減函數，

∴f(x)的最小值為

則有，因此.