Question

【題目】已知拋物線，直線（）與交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）求直線斜率的最大值；

（2）若點(diǎn)在直線上，且為等邊三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

解法一：（1）設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、根的判別式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出的坐標(biāo)，最后根據(jù)斜率公式，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可；

（2）利用弦長公式求出等邊三角形的邊長，最后利用等邊三角形的性質(zhì)，得到方程，求解方程即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)．

解法二：（1）設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在拋物線上，得到兩個(gè)方程，再利用兩點(diǎn)在直線上、中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出的坐標(biāo)，最后根據(jù)斜率公式，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可；

（2）將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、根的判別式、兩點(diǎn)間距離公式求出等邊三角形的邊長，最后利用等邊三角形的性質(zhì)，得到方程，求解方程即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)．

解法一：（1）設(shè)，

由，消去得，，

且．

所以

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，

所以的坐標(biāo)為，即，

又因?yàn)?/span>，所以，

（當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立．）

所以的斜率的最大值為；

（2）由（1）知，

，

由得，

因?yàn)?/span>為等邊三角形，所以，

所以，

所以，所以，解得

又，所以，

則，直線的方程為，即，

所以時(shí)，，

所以所求的點(diǎn)的坐標(biāo)為．

解法二：（1）設(shè)，

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，且直線，

所以因?yàn)?/span>，，兩個(gè)等式相減得：

由得

所以所以即．

所以即，

又因?yàn)?/span>，所以，

（當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立．）

所以的斜率的最大值為．

（2）由，消去得，

所以且．

，

由（1）知，的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，

所以線段的垂直平分線方程為：．

令，得線段的垂直平分線與直線交點(diǎn)坐標(biāo)為

所以．

因?yàn)?/span>為等邊三角形，所以，

所以，

所以，所以，解得

因?yàn)?/span>所以，

則，直線的方程為，即，

所以時(shí)，，

所以所求的點(diǎn)的坐標(biāo)為．