已知f(x)=lnx,g(x)=
1
2
x2+mx+
7
2
(m<0)
,直線l與函數(shù)f(x)、g(x)的圖象都相切,且與函數(shù)f(x)的圖象的切點的橫坐標為1.
(Ⅰ)求直線l的方程及m的值;
(Ⅱ)若h(x)=f(x+1)-g′(x)(其中g′(x)是g(x)的導函數(shù)),求函數(shù)h(x)的最大值;
(Ⅲ)若ln(x+1)<x+c對任意x都成立,求實數(shù)c的取值范圍.
分析:(I)先根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出函數(shù)在x=1處的導數(shù),得到切線的斜率,再利用點斜式方程求出切線方程,最后將切線方程與g(x)=
1
2
x2+mx+
7
2
(m<0)
聯(lián)立方程組,使方程組只有一解,利用判別式建立等量關系,求出m即可;
(II)先求出h(x)的解析式,根據(jù)極值與最值的求解方法,將f(x)的各極值與其端點的函數(shù)值比較,其中最大的一個就是最大值;(III)先將c分離出來,然后轉(zhuǎn)化成c≥(ln(x+1)-x)max,結(jié)合第二問可知(ln(x+1)-x)max,從而得到c的范圍.
解答:解:(Ⅰ)∵f′(x)=
1
x
,∴f'(1)=1.
∴直線l的斜率為1,且與函數(shù)f(x)的圖象的切點坐標為(1,0).
∴直線l的方程為y=x-1.(2分)
又∵直線l與函數(shù)y=g(x)的圖象相切,
∴方程組
y=x-1
y=
1
2
x2+mx+
7
2
有一解.
由上述方程消去y,并整理得x2+2(m-1)x+9=0①
依題意,方程①有兩個相等的實數(shù)根,
∴△=[2(m-1)]2-4×9=0
解之,得m=4或m=-2
∵m<0,∴m=-2.(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知g(x)=
1
2
x2-2x+
7
2
,
∴g'(x)=x-2∴h(x)=ln(x+1)-x+2(x>-1).(6分)
h′(x)=
1
x+1
-1=
-x
x+1
.(7分)
∴當x∈(-1,0)時,h'(x)>0,當x∈(0,+∞)時,h'(x)<0.
∴當x=0時,h(x)取最大值,其最大值為2,
(Ⅲ).ln(x+1)-x<c恒成立,所以c≥(ln(x+1)-x)max,
由(Ⅱ)可知ln(x+1)-x的最大值為0,
所以c≥0.
點評:本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,以及利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等基礎題知識,考查運算求解能力、推理論證能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

定義在(0,+∞)上的三個函數(shù)f(x)、g(x)、h(x),已知f(x)=lnx,g(x)=x2-af(x),h(x)=x-a
x
,且g(x)在x=1處取得極值.
(1)求a的值及h(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求證:當1<x<e2時,恒有x<
2+f(x)
2-f(x)
;
(3)把h(x)對應的曲線C1向上平移6個單位后得到曲線C2,求C2與g(x)對應曲線C3的交點的個數(shù),并說明道理.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知f(x)=lnx,g(x)=x+
a
x
(a∈R).
(1)求f(x)-g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若x≥1時,f(x)≤g(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)當n∈N*,n≥2時,證明:
ln2
3
ln3
4
•…•
lnn
n+1
1
n

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知f(x)=lnx-
a
x

(Ⅰ)當a>0時,判斷f(x)在定義域上的單調(diào)性;
(Ⅱ)若f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立,試求a的取值范圍;
(Ⅲ)若f(x)在[1,e]上的最小值為
3
2
,求a的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知f(x)=lnx,g(x)=x2-x,
(1)求函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)當x∈[-2,0]時,g(x)≤2c2-c-x3恒成立,求c的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知f(x)=lnx+cosx,則f(x)在x=
π2
處的導數(shù)值為
 

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