定義在(0,+∞)上的三個(gè)函數(shù)f(x)、g(x)、h(x),已知f(x)=lnx,g(x)=x2-af(x),h(x)=x-a
x
,且g(x)在x=1處取得極值.
(1)求a的值及h(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求證:當(dāng)1<x<e2時(shí),恒有x<
2+f(x)
2-f(x)
;
(3)把h(x)對(duì)應(yīng)的曲線C1向上平移6個(gè)單位后得到曲線C2,求C2與g(x)對(duì)應(yīng)曲線C3的交點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說(shuō)明道理.
分析:(1)表示出函數(shù)g(x)后對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo),將x=1代入導(dǎo)數(shù)g'(x)即可得到答案.
(2)欲證:x<
2+f(x)
2-f(x)
.只需證:x[2-f(x)]<2+f(x),即證:f(x)>
2(x-1)
x+1

(3)表示出C2的解析式,h1(x),轉(zhuǎn)化為求h1(x)與g(x)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.
解答:解:(1)由題意:g(x)=x2-af(x)=x2-alnx
g'(1)=2-a=0,∴a=2
而h(x)=x-2
x
,h'(x)=1-
1
x
,
令h'(x)=1-
1
x
>0  得  x>1,所以 h(x)在(1,+∞)上位增函數(shù)
令h'(x)=1-
1
x
<0  得  0<x<1,h(x)在(0,1)上為減函數(shù).
(2)∵1<x<e2∴0<lnx<2,∴2-lnx>0,
欲證:x<
2+f(x)
2-f(x)
.只需證:x[2-f(x)]<2+f(x),即證:f(x)>
2(x-1)
x+1

記k(x)=f(x)-
2(x-1)
x+1
=lnx-
2(x-1)
x+1

∴k'(x)=
(x-1)2
x(x+1)2

∴當(dāng)x>1時(shí),k'(x)>0∴k(x)在[1,+∞)上為增函數(shù)
∴k(x)>k(1)=0,∴k(x)>0
即lnx-
2(x-1)
x+1
>0,∴l(xiāng)nx>
2(x-1)
x+1

∴結(jié)論成立

精英家教網(wǎng)(3)由(1)知:g(x)=x2-2lnx,h(x)=x-2
x

∴C2對(duì)應(yīng)表達(dá)式為h1(x)=x-2
x
+6

∴問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g(x)=x2-2lnx與h1(x)=x-2
x
+6
交點(diǎn)的個(gè)數(shù)
即方程:x2-2lnx=x-2
x
+6
的根的個(gè)數(shù)
即:2
x
-2lnx=-x2+x+6

設(shè)h2 (x)=2
x
-2lnx
,h3(x)=-x2+x+6,
h
2
(x)=
1
x
-
2
x
=
x
(
x
-2)
x
x
=
x
-2
x

∴當(dāng)x∈(0,4)時(shí),h2′(x)<0,h2(x)為減函數(shù)
當(dāng)x∈(4,+∞)時(shí),h2′(x)>0,h2(x)為增函數(shù)
而h3(x)=-x2+x+6的圖象開口向下的拋物線
∴h3(x)與h2(x)的大致圖象如圖:
∴h3(x)與h2(x)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè),即C2與C3的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查通過(guò)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)確定函數(shù)的增減區(qū)間的問(wèn)題.這里要熟記各種函數(shù)的求導(dǎo)法則.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義在(0,1)上的函數(shù)f(x),對(duì)任意的m,n∈(1,+∞)且m<n時(shí),都有f(
1
n
)-
f(
1
m
)=f(
m-n
1-mn
)
an=f(
1
n2+5n+5
)
,n∈N*,則在數(shù)列{an}中,a1+a2+…a8=(  )
A、f(
1
2
)
B、f(
1
3
)
C、f(
1
4
)
D、f(
1
5
)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)f(x)是定義在(0,1)上的函數(shù),且滿足:①對(duì)任意x∈(0,1),恒有f(x)>0;②對(duì)任意x1,x2∈(0,1),恒有
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≤2
,則下面關(guān)于函數(shù)f(x)判斷正確的是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•順義區(qū)二模)已知定義在區(qū)間[0,
2
]上的函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=
4
對(duì)稱,當(dāng)x
4
時(shí),f(x)=cosx,如果關(guān)于x的方程f(x)=a有解,記所有解的和為S,則S不可能為(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

填空題
(1)已知
cos2x
sin(x+
π
4
)
=
4
3
,則sin2x的值為
1
9
1
9

(2)已知定義在區(qū)間[0,
2
]
上的函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=
4
對(duì)稱,當(dāng)x≥
4
時(shí),f(x)=cosx,如果關(guān)于x的方程f(x)=a有四個(gè)不同的解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為
(-1,-
2
2
)
(-1,-
2
2
)


(3)設(shè)向量
a
b
,
c
滿足
a
+
b
+
c
=
0
,(
a
-
b
)⊥
c
a
b
,若|
a
|=1
,則|
a
|2+|
b
|2+|
c
|2
的值是
4
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•湖州二模)定義在(0,
π
2
)上的函數(shù)f(x),f′(x)是它的導(dǎo)函數(shù),且恒有f(x)<f′(x)tanx成立,則( 。

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同步練習(xí)冊(cè)答案