設(shè)f(x)是定義在(0,1)上的函數(shù),且滿足:①對任意x∈(0,1),恒有f(x)>0;②對任意x1,x2∈(0,1),恒有
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≤2
,則下面關(guān)于函數(shù)f(x)判斷正確的是( 。
分析:由已知不等式將x1、x2互換位置,可得
f(x2)
f(x1)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
≤2
,再將其與已知式相加,得
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
+
f(x2)
f(x1)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
≤4
任意x1,x2∈(0,1)恒成立.再根據(jù)基本不等式,證出
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
+
f(x2)
f(x1)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
≥4恒成立,所以有
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
+
f(x2)
f(x1)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
=4,結(jié)合基本不等式取等號的條件,可得f(x1)=f(x2)對任意x1、
x2∈(0,1)恒成立.由以上結(jié)論,對照各個選項(xiàng),則不難得到本題的答案.
解答:解:∵對任意x1,x2∈(0,1),恒有
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≤2
,…(1)
∴將x1、x2的位置互換,可得
f(x2)
f(x1)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
≤2
,…(2)
(1)(2)相加,得
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
+
f(x2)
f(x1)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
≤4
,…(3)
又∵對任意x∈(0,1),恒有f(x)>0
∴由基本不等式,得
f(x2)
f(x1)
+
f(x1)
f(x2)
≥2
f(1-x2)
f(1-x1)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≥2

兩式相加,得
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
+
f(x2)
f(x1)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
≥4
…(4)
對照(3)(4),可得
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
+
f(x2)
f(x1)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
=4
任意x1,x2∈(0,1)恒成立
結(jié)合基本不等式的等號成立的條件,可得
f(x2)
f(x1)
=
f(x1)
f(x2)
=1
,故f(x1)=f(x2)對任意x1,x2∈(0,1)恒成立.
由以上的結(jié)論,可得D選項(xiàng)正確,而C選項(xiàng)與D矛盾,故不正確
而A、B中的結(jié)論應(yīng)該改成對任意x∈(0,
1
2
)
,都有f(x)=f(1-x)
故答案為:D
點(diǎn)評:本題給出抽象函數(shù)和已知不等式,判斷幾個命題的真假性,著重考查了函數(shù)的自變量的對稱性、不等式的性質(zhì)和基本不等式等知識,屬于基礎(chǔ)題.
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設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=
12
對稱,則f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=
 

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例2.設(shè)f(x)是定義在[-3,
2
]上的函數(shù),求下列函數(shù)的定義域(1)y=f(
x
-2)
(2)y=f(
x
a
)(a≠0)

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(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)對任意x1,x2∈[0,1],且x1≠x2,求證:|f(x2)-f(x1)|<2|x2-x1|;
(Ⅲ)對任意x1,x2∈[0,1],且x1≠x2,求證:|f(x2)-f(x1)|≤1.

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1
2
x-1,若在區(qū)間(-2,6]內(nèi)關(guān)于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)恰有3個不同的實(shí)數(shù)根,則a的取值范圍是
34
,2)
34
,2)

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