Question

如圖，橢圓的左焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)．當(dāng)直線AB經(jīng)過橢圓的一個頂點(diǎn)時，其傾斜角恰為60°．
（Ⅰ）求該橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為G，AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D，E兩點(diǎn)．記△GFD的面積為S₁，△OED（O為原點(diǎn)）的面積為S₂，求的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意，當(dāng)直線AB經(jīng)過橢圓的頂點(diǎn)（0，b）時，其傾斜角為60°．
設(shè) F（-c，0），則 ．
將 代入a²=b²+c²，得a=2c．
所以橢圓的離心率為 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ），橢圓的方程可設(shè)為，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
依題意，直線AB不能與x，y軸垂直，故設(shè)直線AB的方程為y=k（x+c），將其代入3x²+4y²=12c²，
整理得 （4k²+3）x²+8ck²x+4k²c²-12c²=0．
則 ，，所以．
因?yàn)?GD⊥AB，所以 ，．
因?yàn)椤鱃FD∽△OED，
所以 =．
所以的取值范圍是（9，+∞）．
分析：（Ⅰ）由題意知當(dāng)直線AB經(jīng)過橢圓的頂點(diǎn)（0，b）時，其傾斜角為60°，設(shè) F（-c，0），由直線斜率可求得b，c關(guān)系式，再與a²=b²+c²聯(lián)立可得a，c關(guān)系，由此即可求得離心率；
（Ⅱ）由（Ⅰ）橢圓方程可化為，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由題意直線AB不能與x，y軸垂直，故設(shè)直線AB的方程為y=k（x+c），將其代入橢圓方程消掉y變?yōu)殛P(guān)于x的二次方程，由韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可用k，c表示出中點(diǎn)G的坐標(biāo)，由GD⊥AB得k_GD•k=-1，則D點(diǎn)橫坐標(biāo)也可表示出來，易知△GFD∽△OED，故=，用兩點(diǎn)間距離公式即可表示出來，根據(jù)式子結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可求得的范圍；
點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓的簡單性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，運(yùn)算量大，綜合性強(qiáng)，對能力要求較高．