如圖，橢圓的左焦點為，右焦點為，過的直線交橢圓于兩點， 的周長為8，且面積最大時，為正三角形．

（1）求橢圓的方程；

（2）設動直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點，證明：點在以為直徑的圓上.

 

【答案】

(1) (2)證明過程詳見解析

【解析】

試題分析：

(1)利用橢圓的定義,可以得到三角形ABF2的周長即為2a,則可以得到a的值,由橢圓的對稱性,可以得到為正三角形當且僅當A點在橢圓的短軸端點,此時,則可得到c的值,再根據(jù)a,c,b之間的關系可得到b的值,進而得到橢圓E的方程.

(2)據(jù)題意,直線l與橢圓E相切于點P.設出點P的坐標,利用直線與橢圓相切,聯(lián)立橢圓與直線的方程,判別式為0,即可用點P的坐標表示直線l的斜率,即得到直線l關于P坐標的表達式.聯(lián)立直線l與直線x=4即可求出點Q的坐標,把P,Q的坐標帶入內(nèi)積式,證得即可.

試題解析：

(1)由題得,因為點A,B都在橢圓上,所以根據(jù)橢圓的定義有且,又因為 的周長為8,所以

, 因為橢圓是關于x,y,原點對稱的,所以為正三角形當且僅當為橢圓的短軸定點,則,,故橢圓E的方程為.

(2)由題得,動直線l為橢圓的切線,故不妨設切點,因為直線l的斜率是存在且為,所以,則直線,聯(lián)立直線l與橢圓E的方程得 ,.則直線l的方程為,聯(lián)立直線l與直線得到點,則

,所以,即點M在以PQ為直徑的圓上.

考點：橢圓 切線 內(nèi)積 圓

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分16分）

如圖，橢圓的左焦點為，上頂點為，過點作直線的垂線分別交橢圓、軸于兩點.⑴若,求實數(shù)的值；

⑵設點為的外接圓上的任意一點，

當的面積最大時，求點的坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆四川成都六校協(xié)作體高二下學期期中考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，橢圓的左焦點為，過點的直線交橢圓于，兩點．當直線經(jīng)過橢圓的一個頂點時，其傾斜角恰為．

（Ⅰ）求該橢圓的離心率；

（Ⅱ）設線段的中點為，的中垂線與軸和軸分別交于兩點,

記△的面積為，△（為原點）的面積為，求的取值范圍．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年江蘇省蘇州市高三（上）期末數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，橢圓的左焦點為F，上頂點為A，過點A作直線AF的垂線分別交橢圓、x軸于B，C兩點．
（1）若，求實數(shù)λ的值；
（2）設點P為△ACF的外接圓上的任意一點，當△PAB的面積最大時，求點P的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013年上海市崇明縣高考數(shù)學一模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖，橢圓的左焦點為F1，右焦點為F2，過F1的直線交橢圓于A，B兩點，△ABF2的周長為8，且△AF1F2面積最大時，△AF1F2為正三角形．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x=4相交于點Q．試探究：①以PQ為直徑的圓與x軸的位置關系？
②在坐標平面內(nèi)是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出M的坐標；若不存在，說明理由．

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