【題目】已知,函數(shù).
(1)若關(guān)于的方程的解集中恰有一個元素,求的值;
(2)設(shè),若對任意,函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過,求的取值范圍.
【答案】(1)或.(2)
【解析】
(1)代入解析式表示出方程并化簡,對二次項系數(shù)分類討論與,即可確定只有一個元素時的值;
(2)由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,由題意代入可得,化簡不等式并分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性求出構(gòu)造函數(shù)的最值,即可求得的取值范圍.
(1)關(guān)于的方程,
代入可得,
由對數(shù)運算性質(zhì)可得,化簡可得,
當(dāng)時,代入可得,解得,代入經(jīng)檢驗可知,
滿足關(guān)于的方程的解集中恰有一個元素,
當(dāng)時,則,解得,
再代入方程可解得,代入經(jīng)檢驗可知,
滿足關(guān)于的方程的解集中恰有一個元素,
綜上可知,或.
(2)若,對任意,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,
由題意可知,
化簡可得,即,所以,
令
,
當(dāng)時,,當(dāng)時,
,設(shè),
設(shè),
,
,
所以在是增函數(shù),,
,
則的取值范圍為.
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【題目】已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增,又函數(shù).
(1)求實數(shù)的值,并說明函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】如圖,在四棱錐P一ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD, AB⊥BC, AD//BC, AD=3,PA=BC=2AB=2,
PB=.
(Ⅰ)求證:BC⊥PB;
(Ⅱ)求二面角P一CD一A的余弦值;
(Ⅲ)若點E在棱PA上,且BE//平面PCD,求線段BE的長.
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【題目】已知點在橢圓: 上, 是橢圓的一個焦點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)橢圓C上不與點重合的兩點, 關(guān)于原點O對稱,直線, 分別交軸于, 兩點.求證:以為直徑的圓被直線截得的弦長是定值.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,動點到定點的距離與它到直線的距離相等.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)設(shè)動直線與曲線相切于點,與直線相交于點.
證明:以為直徑的圓恒過軸上某定點.
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【題目】已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=4.
(Ⅰ)過原點O(0,0)作圓C的切線,切點分別為H、K,求直線HK的方程;
(Ⅱ)設(shè)定點M(-3,8),動點N在圓C上運動,以CM,CN為領(lǐng)邊作平行四邊形MCNP,求點P的軌跡方程;
(Ⅲ)平面上有兩點A(1,0),B(-1,0),點P是圓C上的動點,求|AP|2+|BP|2的最小值;
(Ⅳ)若Q是x軸上的動點,QR,QS分別切圓C于R,S兩點.試問:直線RS是否恒過定點?若是,求出定點坐標(biāo),若不是,說明理由.
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【題目】如圖,正方體的棱長為2,P為BC的中點,Q為線段上的動點,過點A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S,則下列命題正確的是______(寫出所有正確命題的編號).
①當(dāng)時,S為四邊形;②當(dāng)時,S為等腰梯形;③當(dāng)時,S與的交點R滿足;④當(dāng)時,S為五邊形;⑤當(dāng)時,S的面積為.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的離心率為,點在橢圓上.
求橢圓的方程;
已知與為平面內(nèi)的兩個定點,過點的直線與橢圓交于兩點,求四邊形面積的最大值.
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