【題目】已知，函數(shù).

（1）經(jīng)過原點(diǎn)分別作曲線、的切線，若兩切線的斜率互為倒數(shù)，證明：；

（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設(shè)切線，切點(diǎn)為.

則,,

,

由題意，知切線的斜率為，方程為.

設(shè)曲線的切點(diǎn)為.

則.

又，消去、后，整理得:.

令.則:.

于是，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

若，由，，則.

而在上單調(diào)遞減，故.

若，因?yàn)?/span>在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，

所以，，這與題設(shè)矛盾.

綜上，.

（2）注意到，.

（i）當(dāng)時(shí)，由，則.

于是，在區(qū)間上遞增，恒成立，符合題意.

（ii）當(dāng)時(shí)，由，且

，

則在區(qū)間上遞增.

又，則存在，使得.

于是，在區(qū)間上遞減，在區(qū)間遞增.

又，此時(shí)，不恒成立，不符合題意.

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某投資公司在年年初準(zhǔn)備將萬元投資到“低碳”項(xiàng)目上，現(xiàn)有兩個(gè)項(xiàng)目供選擇：

項(xiàng)目一：新能源汽車.據(jù)市場調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利，也可能虧損，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為和；

項(xiàng)目二：通信設(shè)備.據(jù)市場調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利，可能損失，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為、和.

針對(duì)以上兩個(gè)投資項(xiàng)目，請(qǐng)你為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目，并說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，F(xiàn)C＝4，AE＝5，求此幾何體的體積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知不經(jīng)過原點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且點(diǎn)在直線上.

（1）求直線的方程；

（2）過點(diǎn)作直線，若直線，與軸圍成的三角形的面積為2，求直線的方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在數(shù)列中，若(，，p為常數(shù))，則稱為“等方差數(shù)列”.下列對(duì)“等方差數(shù)列”的判斷，其中正確的為( )

A.若是等方差數(shù)列，則是等差數(shù)列

B.若是等方差數(shù)列，則是等方差數(shù)列

C.是等方差數(shù)列

D.若是等方差數(shù)列，則(，k為常數(shù))也是等方差數(shù)列

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對(duì)于任意給定的無理數(shù)、及實(shí)數(shù)，證明：圓周上至多只有兩個(gè)有理點(diǎn)（縱、橫坐標(biāo)均為有理數(shù)的點(diǎn)）。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知定義在上的函數(shù)滿足：，且，則方程在區(qū)間上的所有實(shí)根之和為( )

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在中，X、Y為直線BC上兩點(diǎn)（X、B、C、Y順次排列），使得.設(shè)的外心分別為，直線與AB、AC分別交于點(diǎn)U、V.證明：為等腰三角形.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案