【題目】已知橢圓: ()的短軸長為2,以為中點的弦經(jīng)過左焦點,其中點不與坐標原點重合,射線與以圓心的圓交于點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若四邊形是矩形,求圓的半徑;
(Ⅲ)若圓的半徑為2,求四邊形面積的最小值.
【答案】(1) ;(2) .(3)四邊形面積的最小值為.
【解析】試題分析:(Ⅰ)根據(jù)題意列出關(guān)于 、 、的方程組,結(jié)合性質(zhì) , ,求出 、 、,即可得結(jié)果;(Ⅱ)設(shè)直線的方程為,直線與曲線聯(lián)立,根據(jù)韋達定理結(jié)合,可求出,從而可得結(jié)果;(Ⅲ)根據(jù)弦長公式,點到直線距離公式和三角形面積公式可得四邊形面積 ,利用單調(diào)性可得結(jié)果.
試題解析:(Ⅰ)由題意可知, , ,則, .
所以橢圓的方程為.
(Ⅱ)由題意可知,直線不與軸垂直,且經(jīng)過點,
所以可設(shè)直線的方程為.
由得.
易知判別式,設(shè), ,則
, ①
所以,
所以的中點為.
因為四邊形是矩形,所以,且.
則,即,②
又因為, ,③
由①②③解得.
所以點,
所以圓的半徑.
(Ⅲ)當圓的半徑為2時,由(Ⅱ)可知的中點為,
所以直線的斜率為,所以直線的方程為.
設(shè)點到直線的距離為,因為點是弦的中點,
所以點到直線的距離也為,
則.
因為點, 位于直線的異側(cè),所以.
所以 .
又因為,
所以
所以四邊形面積
,其中.
可知當時, ,
即四邊形面積的最小值為.
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【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=,an+1=3an-1(n∈N*).
(1)若數(shù)列{bn}滿足bn=an-,求證:{bn}是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.
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【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C對應(yīng)的邊分別為a,b,c(a≤b≤c),且bcosC+ccosB=2asinA. (Ⅰ)求角A;
(Ⅱ)求證: ;
(Ⅲ)若a=b,且BC邊上的中線AM長為 ,求△ABC的面積.
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【題目】已知點A,B,C在圓x2+y2=1上運動,且AB⊥BC,若點P的坐標為 ,則 的取值范圍為( )
A.[8,10]
B.[9,11]
C.[8,11]
D.[9,12]
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【題目】△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.
(1)求角C;
(2)若 ,△ABC的面積為 ,求a+b的值.
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【題目】已知f(x)=2x2+bx+c,不等式f(x)<0的解集為(0,5).
(1)求b,c的值;
(2)若對任意x∈[﹣1,1],不等式f(x)+t≤2恒成立,求t的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),設(shè)關(guān)于的方程有個不同的實數(shù)解,則的所有可能的值為( )
A. 3 B. 1或3 C. 4或6 D. 3或4或6
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