Question

【題目】設(shè)f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數(shù)，f（﹣1）=﹣1，且對任意a，b∈[﹣1，1]，當(dāng)a≠b時，都有 ；
（1）解不等式f ；
（2）若f（x）≤m2﹣2km+1對所有x∈[﹣1，1]，k∈[﹣1，1]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數(shù)，

且對任意a，b∈[﹣1，1]，當(dāng)a≠b時，都有 ，

∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上單調(diào)遞增，

又f ，

∴ ，解得：﹣ ＜x≤ ，

∴不等式f 的解集為{x|﹣ ＜x≤ }

（2）解：∵奇函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上單調(diào)遞增，且f（﹣1）=﹣1，

∴f（x）max=f（1）=﹣f（﹣1）=1，

故f（x）≤m2﹣2km+1對所有x∈[﹣1，1]，k∈[﹣1，1]恒成立m2﹣2km+1≥f（x）max=1，

∴m2﹣2km≥0恒成立（﹣1≤k≤1），

令g（k）=﹣2mk+m2，

則 ，即 ，解得：m≥2或m≤﹣2或m=0．

∴實數(shù)m的取值范圍為（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）∪{0}

【解析】（1）f（x）在[﹣1，1]上是增函數(shù)，然后利用增函數(shù)的定義進行證明，將不等式結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進行轉(zhuǎn)化，解得答案，（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性知f（x）最大值為f（1）=1，所以要使f（x）≤m2﹣2km+1對所有x∈[﹣1，1]，k∈[﹣1，1]恒成立，只需要m2﹣2km≥0恒成立（﹣1≤k≤1），進而得到實數(shù)m的取值范圍.
【考點精析】通過靈活運用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，掌握在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇即可以解答此題．