【題目】為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和應(yīng)用能力,某校組織了一次實(shí)地測(cè)量活動(dòng),如圖,假設(shè)待測(cè)量的樹木AE的高度H(m),垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β(D,C,E三點(diǎn)共線),試根據(jù)上述測(cè)量方案,回答如下問題:
(1)若測(cè)得α=60°、β=30°,試求H的值;
(2)經(jīng)過分析若干次測(cè)得的數(shù)據(jù)后,大家一致認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到樹木的距離d(單位:m),使α與β之差較大時(shí),可以提高測(cè)量精確度.
若樹木的實(shí)際高度為8m,試問d為多少時(shí),α﹣β最大?
【答案】
(1)解:在Rt△ABE中可得AD= ,
在Rt△ADE中可得AB= ,BD= ,
由AD﹣AB=DB,故得 ,
得:H= = =6.
因此,算出的樹木的高度H是6m.
(2)解:由題設(shè)知d=AB,得tanα= ,tanβ= = = ,
tan(α﹣β)= = = =
= ,(當(dāng)且僅當(dāng)d= )時(shí),取等號(hào))
故當(dāng)H=8時(shí),d=4 ,tan(α﹣β)最大.
因?yàn)?<β<α< ,則0<α﹣β< ,所以當(dāng)d=4 時(shí),α﹣β最大.
【解析】1、由題意可知,在Rt△ABE中可得AD= , 在Rt△ADE中可得AB=, BD= ,根據(jù),即可得到H的值。
2、先用d分別表示出和,利用兩角和的正切公式求得tan(α﹣β),整理成基本不等式的形式,再根據(jù)基本不等式求出最大值α﹣β。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= +ax,x>1.
(1)若函數(shù)f(x)在 處取得極值,求a的值;
(2)若方程(2x﹣m)lnx+x=0在(1,e]上有兩個(gè)不等實(shí)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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【題目】設(shè)f(x)是定義在[﹣1,1]上的奇函數(shù),f(﹣1)=﹣1,且對(duì)任意a,b∈[﹣1,1],當(dāng)a≠b時(shí),都有 ;
(1)解不等式f ;
(2)若f(x)≤m2﹣2km+1對(duì)所有x∈[﹣1,1],k∈[﹣1,1]恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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【題目】如圖,兩個(gè)正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直,設(shè)M、N分別是BD和AE的中點(diǎn),那么①AD⊥MN;②MN∥平面CDE;③MN∥CE;④MN、CE異面.其中假命題的個(gè)數(shù)為( )
A.4
B.3
C.2
D.1
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【題目】請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒,如圖所示,ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得A,B,C,D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P,正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒,E、F在AB上,是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn),設(shè)AE=FB=x(cm).
(1)若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S(cm2)最大,試問x應(yīng)取何值?
(2)若廣告商要求包裝盒容積V(cm3)最大,試問x應(yīng)取何值?并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值.
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【題目】已知f(x)=x3﹣ax在(﹣∞,﹣1]上是單調(diào)函數(shù),則a的取值范圍是( )
A.(3,+∞)
B.[3,+∞)
C.(﹣∞,3)
D.(﹣∞,3]
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【題目】如圖,在三棱錐S﹣ABC中,M、N分別是棱SC、BC的中點(diǎn),且MN⊥AM,若AB=2 ,則此正三棱錐外接球的體積是( )
A.12π
B.4 π
C. π
D.12 π
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【題目】設(shè)f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(﹣3)=0,則不等式f(x)g(x)<0的解集是( )
A.(﹣3,0)∪(3,+∞)
B.(﹣3,0)∪(0,3)
C.(﹣∞,﹣3)∪(3,+∞)
D.(﹣∞,﹣3)∪(0,3)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:PB∥平面AEC;
(Ⅱ)設(shè)二面角D﹣AE﹣C為60°,AP=1,AD= ,求三棱錐E﹣ACD的體積.
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