Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝sinx，g（x）＝lnx．

（1）求方程在[0，2π]上的解；

（2）求證：對(duì)任意的a∈R，方程f（x）＝ag（x）都有解；

（3）設(shè)M為實(shí)數(shù)，對(duì)區(qū)間[0，2π]內(nèi)的滿足x1＜x2＜x3＜x4的任意實(shí)數(shù)xi（1≤i≤4），不等式成立，求M的最小值．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）詳見解析；（2）

【解析】

（1）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得的值，由此求得方程的解.

（2）將分成和兩種情況，結(jié)合零點(diǎn)存在性證得結(jié)論成立.

（3）先證得，再證得，由此求得的最小值為.

（1）因?yàn)椋?/span>，所以，即，且.若，則，與矛盾.所以，從而.又，所以或.

（2）當(dāng)時(shí)，由得，即是該方程的一個(gè)解；

當(dāng)時(shí)，令.因?yàn)?/span>的圖像在區(qū)間上連續(xù)不斷，且，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知，存在，使得.因此，當(dāng)時(shí)，方程有解.

綜上所述，對(duì)任意，方程都有解.

（3）先證：.

取，.

再證：當(dāng)時(shí)，都有，即.

①若，因?yàn)?/span>，于是，所以，而，所以.

②若，，，所以；

③若，，，所以，

于是對(duì)任意滿足條件的，都有.

綜上所述，的最小值為.