【題目】如圖，三棱柱中，，，平面平面，與相交于點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題（1）可利用推論“若兩平面垂直，一個(gè)平面上的直線垂直于兩平面交線，則直線垂直于另一個(gè)平面”證明線面垂直。

（2）以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量即可求得二面角余弦值。

試題解析：

（1）證明：設(shè)的中點(diǎn)為，連.

∵，

∴四邊形為菱形，且為正三角形，∴.

∵，∴.

而，

∴平面，∴.

∵四邊形為菱形，則有，

又平面平面，平面平面，

∴平面，

∴，

又∵，∴平面.

（2）

如圖，∵，∴，

以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，

∵，

∴.

從而，有，.

∴.

設(shè)面的法向量為，

則，

又面的法向量為，

設(shè)二面角的大小為，由圖知為銳角，

則.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)與的圖象在點(diǎn)處有相同的切線．

（Ⅰ）若函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，，求證：．

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【題目】某地棚戶區(qū)改造建筑平面示意圖如圖所示，經(jīng)規(guī)劃調(diào)研確定，棚改規(guī)劃建筑用地區(qū)域近似為圓面，該圓面的內(nèi)接四邊形是原棚戶區(qū)建筑用地，測(cè)量可知邊界萬(wàn)米，萬(wàn)米，萬(wàn)米.

（1）請(qǐng)計(jì)算原棚戶區(qū)建筑用地的面積及的長(zhǎng)；

（2）因地理?xiàng)l件的限制，邊界不能更改，而邊界可以調(diào)整，為了提高棚戶區(qū)建筑用地的利用率，請(qǐng)?jiān)趫A弧上設(shè)計(jì)一點(diǎn)，使得棚戶區(qū)改造后的新建筑用地的面積最大，并求出最大值.

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【題目】已知圓C：．

(1)求圓的圓心C的坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)；

(2)直線l經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且不與y軸重合，l與圓C相交于兩點(diǎn)，求證：為定值；

(3)斜率為1的直線m與圓C相交于D、E兩點(diǎn)，求直線m的方程，使的面積最大．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某企業(yè)擬用10萬(wàn)元投資甲、乙兩種商品.已知各投入萬(wàn)元，甲、乙兩種商品分別可獲得萬(wàn)元的利潤(rùn)，利潤(rùn)曲線，，如圖所示.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）應(yīng)怎樣分配投資資金，才能使投資獲得的利潤(rùn)最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某蛋糕店每天做若干個(gè)生日蛋糕，每個(gè)制作成本為50元，當(dāng)天以每個(gè)100元售出，若當(dāng)天白天售不出，則當(dāng)晚以30元/個(gè)價(jià)格作普通蛋糕低價(jià)售出，可以全部售完．

（1）若蛋糕店每天做20個(gè)生日蛋糕，求當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元）關(guān)于當(dāng)天生日蛋糕的需求量（單位：個(gè)， ）的函數(shù)關(guān)系；

（2）蛋糕店記錄了100天生日蛋糕的日需求量（單位：個(gè)）整理得下表：

（�。┘僭O(shè)蛋糕店在這100天內(nèi)每天制作20個(gè)生日蛋糕，求這100天的日利潤(rùn)（單位：元）的平均數(shù)；

（ⅱ）若蛋糕店一天制作20個(gè)生日蛋糕，以100天記錄的各需求量的頻率作為概率，求當(dāng)天利潤(rùn)不少于900元的概率．

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【題目】已知函數(shù)，．

（1）當(dāng)為何值時(shí)，軸為曲線的切線；

（2）用表示中的最小值，設(shè)函數(shù)，討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

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【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形是菱形，是矩形，平面平面.，， 且點(diǎn)為的中點(diǎn)．

（1） 求證：平面；

（2） 求與平面所成角的正弦值；

（3） 在線段上是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列（）的通項(xiàng)公式為（）.

（1）分別求的二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和與系數(shù)之和；

（2）求的二項(xiàng)展開式中的系數(shù)最大的項(xiàng)；

（3）記（），求集合的元素個(gè)數(shù)（寫出具體的表達(dá)式）.

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