Question

【題目】設函數(shù) ，函數(shù) ，其中a為常數(shù)且a＞0，令函數(shù)f（x）=g（x）h（x）．
（1）求函數(shù)f（x）的表達式，并求其定義域；
（2）當 時，求函數(shù)f（x）的值域；
（3）是否存在自然數(shù)a，使得函數(shù)f（x）的值域恰為 ？若存在，試寫出所有滿足條件的自然數(shù)a所構成的集合；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，其定義域為[0，a]；
（2）解：令 ，則 且x=（t﹣1）2

∴ （5分）

∴

∵ 在[1，2]上遞減，在[2，+∞）上遞增，

∴ 在 上遞增，即此時f（x）的值域為

（3）解：令 ，則 且x=（t﹣1）2∴

∵ 在[1，2]上遞減，在[2，+∞）上遞增，

∴y= 在[1，2]上遞增， 上遞減，

t=2時 的最大值為 ，

∴a≥1，又1＜t≤2時

∴由f（x）的值域恰為 ，由 ，解得：t=1或t=4

即f（x）的值域恰為 時，

所求a的集合為{1，2，3，4，5，6，7，8，9}

【解析】（1）將g（x），h（x）的解析式相乘可得到f（x）的解析式，g（x）和h（x）的定義域的交集即為f（x）的定義域，（2）當a=時，使用換元法，注意新元的取值范圍，結合對勾函數(shù)可得出f（x）的值域，（3）使用換元法得出f（t）的解析式，分類進行討論得到a的集合.
【考點精析】利用函數(shù)的定義域及其求法和函數(shù)的值域對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數(shù);②是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù);③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合;④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1,零（負）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零；求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小（大）數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實質是相同的．