【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

已知直線l過點P(-3，2)，傾斜角為，且．曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．直線l與曲線C交于A、B兩點，線段AB的中點為M．

（Ⅰ）求直線l的參數(shù)方程和曲線C的普通方程；

（Ⅱ）求線段PM的長．

【答案】（Ⅰ）l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．C的普通方程為（Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）由條件，有， ，所以，又直線l過點P(-3，2)，即可得直線l的參數(shù)方程 ，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）可得曲線C的普通方程（Ⅱ）直線l的參數(shù)方程與曲線C的普通方程聯(lián)立，根據(jù)韋達定理得出AB的中點M對應的參數(shù)為即可得PM的長.

試題解析：

（Ⅰ）由條件，有， ，所以，

又直線l過點P(-3，2)，所以直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）． ①

曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線C的普通方程為． ②

（Ⅱ）①代入②，得，

設A、B對應的參數(shù)分別為t1，t2，則，

所以AB的中點M對應的參數(shù)為，

所以線段PM的長為．

練習冊系列答案
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【題目】如圖，四棱錐中，底面是的菱形，側(cè)面是邊長為2的正三角形，且與底面垂直， 為的中點.

（1）求證： 平面；

（2）求二面角的余弦值.

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【題目】已知點在曲線上，⊙過原點，且與軸的另一個交點為，若線段，⊙和曲線上分別存在點、點和點，使得四邊形（點， ， ， 順時針排列）是正方形，則稱點為曲線的“完美點”．那么下列結論中正確的是（ ）．

A. 曲線上不存在”完美點”

B. 曲線上只存在一個“完美點”，其橫坐標大于

C. 曲線上只存在一個“完美點”，其橫坐標大于且小于

D. 曲線上存在兩個“完美點”，其橫坐標均大于

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【題目】選修4—4：坐標系與參數(shù)方程選講

在直角坐標系中，曲線C1的參數(shù)方程為（a為參數(shù))，以原點O為極點，

以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲 線C2的極坐標方程為

(1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標方程.

(2)設P為曲線C1上的動點，求點P到C2上點的距離的最小值，并求此時點P坐標.

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【題目】已知函數(shù)= ， .

（1）若函數(shù)在處取得極值，求的值，并判斷在處取得極大值還是極小值.

（2）若在上恒成立，求的取值范圍.

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【題目】如圖，等腰梯形中， ， 于點， ，且．沿把折起到的位置（如圖），使．

（I）求證： 平面．

（II）求三棱錐的體積．

（III）線段上是否存在點，使得平面，若存在，指出點的位置并證明；若不存在，請說明理由．

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【題目】已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.

（1）求的取值范圍；

（2）記兩個極值點為，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范圍.

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【題目】2018年全國數(shù)學奧賽試行改革：在高二一年中舉行5次全區(qū)競賽，學生如果其中2次成績達全區(qū)前20名即可進入省隊培訓，不用參加其余的競賽，而每個學生最多也只能參加5次競賽.規(guī)定：若前4次競賽成績都沒有達全區(qū)前20名，則第5次不能參加競賽.假設某學生每次成績達全區(qū)前20名的概率都是，每次競賽成績達全區(qū)前20名與否互相獨立.

（1）求該學生進入省隊的概率.

（2）如果該學生進入省隊或參加完5次競賽就結束，記該學生參加競賽的次數(shù)為，求的分布列及的數(shù)學期望.

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【題目】（本小題滿分13分）已知動圓過定點且與軸截得的弦的長為．

（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡的方程；

（Ⅱ）已知點，動直線和坐標軸不垂直，且與軌跡相交于兩點，試問：在軸上是否存在一定點，使直線過點，且使得直線,，的斜率依次成等差數(shù)列？若存在，請求出定點的坐標；否則，請說明理由．

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