Question

已知橢圓（a＞b＞0）的一個焦點與拋物線y²=4x的焦點重合，且截拋物線的準(zhǔn)線所得弦長為，直線l：y=kx+m交橢圓于不同的兩點A，B，且l總與以原點為圓心的單位圓相切．
（I）求該橢圓的方程；
（II）當(dāng)且滿足時，求S_△AOB的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由拋物線y²=4x可知焦點為（1，0），準(zhǔn)線為x=-1，橢圓截直線x=-1所得的弦長為得上交點為（-1，），代入結(jié)合1=a²-b²可求
II）由直線y=kx+m與圓x²+y²=1相切可得，由可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，△=8k²＞0可得k≠0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則，y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=，而=，結(jié)合可求k的范圍，根據(jù)表示所求的面積，結(jié)合基本不等式可求
解答：解：（I）拋物線y²=4x的焦點為（1，0），準(zhǔn)線為x=-1
∵橢圓截直線x=-1所得的弦長為得上交點為（-1，），代入得，且1=a²-b²
∴b²=1，a²=2
∴橢圓方程為
（II）∵直線y=kx+m與圓x²+y²=1相切
∴即m²=k²+1
由可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0
△=8k²＞0可得k≠0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=
∴=λ，
由可得，即
∵=
令u=k⁴+k²∵∴，
∴
點評：本題主要考查了利用橢圓與拋物線的性質(zhì)求解橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用及利用基本不等式求解函數(shù)的最值，綜合性較強，運算量較大，屬于綜合試題