Question

在平面直角坐標系xOy中，已知點M（2，2），P是動點，且△POM的三邊所在直線的斜率滿足k_OM+k_OP=k_PM．
（1）求點P的軌跡C的方程；
（2）點N在直線y=4x-1，過N作（1）中軌跡C的兩切線，切點分別為A，B，若△ABN是直角三角形，求點N的坐標．

Answer 1

分析：（1）設(shè)動點P的坐標，利用已知條件k_OM+k_OP=k_PM列式整理得到點P的軌跡C的方程；
（2）對函數(shù)y=

1

2

x2求導，設(shè)出A，B的坐標，由導函數(shù)得到AN和BN所在直線的斜率，設(shè)N點坐標，由兩點式求出AN和BN所在直線的斜率，由斜率相等得到A，B，N的坐標的關(guān)系，然后分AN⊥BN，AN⊥AB，BN⊥AB三種情況列式求解N的坐標．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y），由k_OM+k_OP=k_PM得：1+

y

x

=

y-2

x-2

，即x²=2y，
所以P點的軌跡C的方程是：x²=2y（x≠0，且x≠2），
（2）由C：y=

1

2

x2，∴y'=x，設(shè)A(x1，

1

2

x

2 1

)，B(x2，

1

2

x

2 2

)，N（a，b）
則k_AN=x₁，k_BN=x₂，
由于AN是曲線的切線，∴

1 2 x 2 1 -b

x1-a

=x1，
即

x

2 1

-2ax1+2b=0，同理

x

2 2

-2ax2+2b=0，
兩式相減可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）-2a（x₁-x₂）=0，
又x₁≠x₂，故x₁+x₂=2a，
①若AN⊥BN，則k_ANk_BN=-1，∴x₁x₂=-1，
由

x12-2ax1+2b=0 x22-2ax2+2b=0 x1x2=-1

，得2b=-1，b=-

1

2

，此時N(

1

8

，-

1

2

)；
②若AN⊥AB，則k_ANk_AB=-1，即

1 2 x 2 2 - 1 2 x 2 1

x2-x1

•x1=-1，
化簡得：（x₁+x₂）x₁+2=0，即2ax₁+2=0，x1=-

1

a

，
又

x

2 1

-2ax1+2b=0，即

1

a2

+2+2b=0，
由

1 a2 +2+2b=0 b=4a-1

，可得

a=- 1 2 b=-3

，
∴N(-

1

2

，-3)，
③若BN⊥AB，則k_BN•k_AB=-1，即

1 2 x22- 1 2 x12

x2-x1

•x2=-1，
化簡得：（x₁+x₂）x₂+2=0，即2ax₂+2=0，x2=-

1

a

，
又x22-2ax2+2b=0，即

1

a2

+2+2b=0，
由

1 a2 +2+2b=0 b=4a-1

，可得

a=- 1 2 b=-3

，
∴N(-

1

2

，-3)．
綜上可得，所求點N有兩個，即N(

1

8

，-

1

2

)，N(-

1

2

，-3)．

點評：本題考查了軌跡方程，考查了利用導數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，訓練了分類討論的數(shù)學思想方法，考查了學生的計算能力，屬難題．