Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C極坐標(biāo)方程： ，點(diǎn)P極坐標(biāo)為 ，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P，且傾斜角為 ．
（1）求曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程及直線(xiàn)l參數(shù)方程；
（2）若直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，求 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵曲線(xiàn)C極坐標(biāo)方程： ，∴3ρ2+ρ2sin2θ=12，

∵ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，

∴曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為3x2+4y2=12，即 =1．

∵點(diǎn)P極坐標(biāo)為 ，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P，且傾斜角為 ．

∴點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（3， ），

∴直線(xiàn)l參數(shù)方程為 （t為參數(shù)）

（2）解：把直線(xiàn)l參數(shù)方程 （t為參數(shù)）代入曲線(xiàn)C：3x2+4y2=12，

整理，得： ，

=4＞0，

設(shè)方程的兩根為t1，t2，則t1+t2=﹣ ，t1t2= ，∴t1＜0，t2＜0，

∴ =| |=| |= = =

【解析】（1）曲線(xiàn)C極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為3ρ2+ρ2sin2θ=12，由ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，能求出曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程；由直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P（3， ），且傾斜角為 ，能求出直線(xiàn)l參數(shù)方程．（2）把直線(xiàn)l參數(shù)方程 （t為參數(shù)）代入曲線(xiàn)C：3x2+4y2=12，得： ，由此利用韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件能求出 的值．