Question

（2013•保定一模）設(shè)a＞0，b＞0，且a+b=2，

1

a

+

1

b

的最小值為m，記滿足x²+y²≤3m的所有整點(diǎn)坐標(biāo)為（x_i，y_i）（i=1，2，3，…，n），則

n

i=1

|xiyi|

20

．

Answer 1

分析：依題意，可求得m=2，x²+y²≤3m?x²+y²≤6．從而求得整點(diǎn)坐標(biāo)（x_i，y_i），計(jì)算即可得

n

i=1

|xiyi|．

解答：解：∵a＞0，b＞0，且a+b=2，
∴

1

a

+

1

b

=（

1

a

+

1

b

）×

1

2

（a+b）=

1

2

（1+

b

a

+

a

b

+1）≥

1

2

×4=2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取“=”）．
∴

1

a

+

1

b

的最小值為2，即m=2．
∴x²+y²≤3m?x²+y²≤6．
∴其整點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，0），（0，±1），（0，±2），（±1，0），（±1，±1），（±1，±2），（±2，±1）共19個(gè)．
∴

19

i=1

|x_iy_i|=4×1+4×2+4×2=20．
故答案為：20．

點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式，考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)列的求和，求得m的值與整點(diǎn)坐標(biāo)（x_i，y_i）是關(guān)鍵，屬于中檔題．