Question

設(shè)命題p：?x₀∈R，x₀²-2ax₀+2-a=0，命題q：?x∈[1，+∞），a≤log₁₆（3x+1），如果命題p∨q為真命題，命題p∧q為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：首先考慮p真，q真分別求出等價(jià)結(jié)論，然后由p或q真，說(shuō)明p，q中至少有一個(gè)真，p且q假，說(shuō)明p，q中至少有一個(gè)為假，從而p，q中一真一假，列出不等式組，解出它們，即得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：當(dāng)命題p為真時(shí)，則方程x²-2ax+2-a=0有實(shí)根，
即△=4a²-4（2-a）≥0⇒a≥1或a≤-2，
當(dāng)q為真時(shí)，即?x∈[1，+∞），a≤log₁₆（3x+1）恒成立，
由于f（x）=log₁₆（3x+1）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
所以f（x）的最小值是log₁₆（3×1+1）=

1

2

，
又a≤log₁₆（3x+1）恒成立?a≤f（x）_min所以a≤

1

2

，
因?yàn)槊�題p∨q為真命題，命題p∧q為假命題，從而p，q中一真一假．
當(dāng)p真q假時(shí)即

a≥1或a≤-2 a＞ 1 2

⇒a≥1；
當(dāng)p假q真時(shí)即

-2＜a＜1 a≤ 1 2

_⇒-2＜a≤

1

2

．
綜上a≥1或-2＜a≤

1

2

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥1或-2＜a≤

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合命題的真假，一元二次方程有實(shí)數(shù)解的條件和一元二次不等式的解法，同時(shí)考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及a＜f（x）恒成立等價(jià)于a＜f（x）的最小值，是一道代數(shù)綜合題，考查推理和解不等式的能力，屬于中檔題．