Question

設f(x)是定義在D上的函數(shù)，若對D中的任意兩數(shù)x₁，x₂(x₁≠x₂)，恒有，則稱f(x)為定義在D上的C函數(shù)．

(1)試判斷函數(shù)f(x)＝x²是否為定義域上的C函數(shù)，并說明理由；

(2)若函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，試證明f(x)不是R上的C函數(shù)；

(3)設f(x)是定義在D上的函數(shù)，若對任何實數(shù)a∈(0，1)以及D中的任意兩數(shù)x₁，x₂，恒有f(ax₁＋(1－a)x₂]≤af(x₁)＋(1－a)f(x₂)，則稱f(x)為定義在D上的C函數(shù)．已知f(x)是R上的C函數(shù)，m是給定的正整數(shù)，設an＝f(n)，n，0，1，2，…，m，且a₀=0，a_m＝2m，記S_f＝a₁＋a₂＋…＋a_m對于滿足條件的任意函數(shù)f(x)，試求S_f的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)是C函數(shù)，　　2分 　　證明如下：對任意實數(shù)()及，有． 　　即∴是C函數(shù)．　　4分 　　(2)假設是R上的C函數(shù)，取，則有． 　　是奇函數(shù)，∴，． 　　∴． 　　(＃)同理，取，可證．與(＃)式矛盾． 　　∴不是R上的C函數(shù)．　　9分 　　(3)對任意，取，，． 　　是R上的C函數(shù)，，且 　　∴．那么． 　　可證是C函數(shù)，且使得都成立，此時． 　　綜上所述，的最大值為．　　14分