設(shè)f(x)是定義在D上的函數(shù),若對(duì)任何實(shí)數(shù)α∈(0,1)以及D中的任意兩數(shù)x1,x2,恒有f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2),則稱f(x)為定義在D上的C函數(shù).

(1)試判斷函數(shù)f1(x)=x2,中哪些是各自定義域上的C函數(shù),并說明理由;

(2)已知f(x)是R上的C函數(shù),m是給定的正整數(shù),設(shè)anf(n),n=0,1,2…,m,且a0=0,am=2m,記Sf=a1+a2+…+am.對(duì)于滿足條件的任意函數(shù)f(x),試求Sf的最大值;

(3)若f(x)是定義域?yàn)?B>R的函數(shù),且最小正周期為T,試證明f(x)不是R上的C函數(shù).

答案:
解析:

  解:(1)是C函數(shù),證明如下:

  對(duì)任意實(shí)數(shù),

  有

  即

  ∴是C函數(shù).不是C函數(shù),證明如下:

  取,,,

  則

  即.∴不是C函數(shù).  4分

  (2)對(duì)任意,取,,R上的C函數(shù),,且

  ∴

  那么

  可證是C函數(shù),且使得都成立,此時(shí)

  綜上所述,的最大值為.  9分

  (3)假設(shè)R上的C函數(shù).

  若存在,使得

  若

  記,,則,且

  那么

  這與矛盾.

  若,記,也可得到矛盾.

  ∴上是常數(shù)函數(shù),

  又因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1313/0020/d0829e4650548ad3c3b17184a379ce5f/C/Image171.gif" width=38 height=26>是周期為T的函數(shù),所以R上是常數(shù)函數(shù),這與的最小正周期為T矛盾.

  所以不是R上的C函數(shù).  14分


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設(shè)f(x)是定義在D上的函數(shù),若對(duì)D中的任意兩數(shù)x1,x2(x1≠x2),恒有,則稱f(x)為定義在D上的C函數(shù).

(1)試判斷函數(shù)f(x)=x2是否為定義域上的C函數(shù),并說明理由;

(2)若函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),試證明f(x)不是R上的C函數(shù);

(3)設(shè)f(x)是定義在D上的函數(shù),若對(duì)任何實(shí)數(shù)a∈(0,1)以及D中的任意兩數(shù)x1,x2,恒有f(ax1+(1-a)x2]≤af(x1)+(1-a)f(x2),則稱f(x)為定義在D上的C函數(shù).已知f(x)是R上的C函數(shù),m是給定的正整數(shù),設(shè)an=f(n),n,0,1,2,…,m,且a0=0,am=2m,記Sf=a1+a2+…+am對(duì)于滿足條件的任意函數(shù)f(x),試求Sf的最大值.

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設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(2)=0,當(dāng)x>0時(shí),有恒成立,則不等式 的解集是

A.(-2,0) ∪(2,+∞)   B.(-2,0) ∪(0,2)  C.(-∞,-2)∪(2,+∞)    D.(-∞,-2)∪(0,2)

 

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