設(shè)橢圓 (a>b>0)的左頂點(diǎn)為A,若橢圓上存在一點(diǎn)P,使∠OPA= (O為原點(diǎn)),求橢圓離心率的取值范圍.

橢圓離心率的范圍是(,1).


解析:

如圖,設(shè)P(x,y),由∠OPA=知點(diǎn)P在以AO為直徑的圓上,

即.

聯(lián)立方程組消去y,得

(a2-b2)x2+a3x+a2b2=0.

解之,得x=-a或.

當(dāng)x=-a時(shí),P與A重合,不滿(mǎn)足題意,舍去.

故P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

又∵,∴a2>2b2,即a2>2(a2-c2).

∴,.

又∵0<e<1,

∴1,即橢圓離心率的范圍是(,1).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

(本題滿(mǎn)分12分)設(shè)A(x，y)、B(x，y) 是橢圓(a >  b > 0) 上的兩點(diǎn)，， = (，)，且滿(mǎn)足· = 0，橢圓的離心率e = ，短軸長(zhǎng)為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)若存在斜率為k的直線(xiàn)AB過(guò)橢圓的焦點(diǎn)F(0，c)(c為半焦距)，求直線(xiàn)AB的斜率k的值．

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(本小題滿(mǎn)分16分)

如圖，橢圓(a>b>0)的上、下兩個(gè)頂點(diǎn)為A、B，直線(xiàn)l：，點(diǎn)P是橢圓上異于點(diǎn)A、B的任意一點(diǎn)，連接AP并延長(zhǎng)交直線(xiàn)l于點(diǎn)N，連接PB并延長(zhǎng)交直線(xiàn)l于點(diǎn)M，設(shè)AP所在的直線(xiàn)的斜率為，BP所在的直線(xiàn)的斜率為．若橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．

（1）求的值；

（2）求MN的最小值；

（3）隨著點(diǎn)P的變化，以MN為直徑的圓是否恒過(guò)定點(diǎn)，

若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)，如不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013屆河北省唐山市高二第一學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)試卷 題型：選擇題

設(shè)F1是橢圓(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，PQ是經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)F2的弦，則△PF1Q的周長(zhǎng)是（   ）

A.4a            B.4b                C.2a                D.2b

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010年江蘇省高二階段測(cè)試數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

（本題滿(mǎn)分16分）已知橢圓(a>b>0)

（1）當(dāng)橢圓的離心率，一條準(zhǔn)線(xiàn)方程為x＝4 時(shí)，求橢圓方程；

（2）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，在（1）的條件下，求的最大值及相應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)。

（3）過(guò)B(0,－b)作橢圓(a>b>0)的弦，若弦長(zhǎng)的最大值不是2b，求橢圓離心率的取值范圍。

 

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