【題目】等差數(shù)列首項和公差都是,記的前n項和為,等比數(shù)列各項均為正數(shù),公比為q,記的前n項和為

1)寫出構(gòu)成的集合A;

2)若將中的整數(shù)項按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列,求的一個通項公式;

3)若q為正整數(shù),問是否存在大于1的正整數(shù)k,使得同時為(1)中集合A的元素?若存在,寫出所有符合條件的的通項公式,若不存在,請說明理由.

【答案】1;(2n為奇數(shù),n為偶數(shù),;(3)存在;.

【解析】

1)直接由等差數(shù)列的求和公式得到,再把分別代入,即可求出集合;(2)寫出,根據(jù)整數(shù)項構(gòu)成,得到的整數(shù)倍,從而得到的通項;(3)根據(jù)的前n項和為,根據(jù)同時為(1)中集合A的元素,進行分類討論,從而得到的通項公式.

1)因為等差數(shù)列的首項和公差都是,

所以.

分別代入上式,

得到;

2)由(1)得

因為中的整數(shù)項按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列,

所以的整數(shù)倍,

①當(dāng),即時,

此時的奇數(shù)項,所以

所以,

②當(dāng)時,

此時的偶數(shù)項,所以

所以

綜上所述,為奇數(shù),為偶數(shù),;

3)①當(dāng)時,,

所以,

同時為(1)中集合A的元素,

所以,,得

所以,

所以;

②當(dāng)時,

所以,

因為為正整數(shù),正整數(shù)大于,

所以i)當(dāng)時,,

得到,此時,,

所以,得,

;

ii)當(dāng)時,,得,此時,

所以,得

;

iii)當(dāng),,時,找不到滿足條件的.

綜上所述,存在符合條件的

通項公式為:.

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