Question

已知數(shù)列是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，公差為d，為其前n項(xiàng)和，且滿足,．?dāng)?shù)列滿足,， 為數(shù)列的前n項(xiàng)和．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的前n項(xiàng)和；

（2）若對任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？若存在，求出所有的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）．           ……9分

（3） 存在        

【解析】試題分析：(1)由可令n=1,n=2得到關(guān)于a₁與d的兩個(gè)方程，從而可解出a₁和d,得到a_n的通項(xiàng)公式.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011312554691774130/SYS201301131257235740826046_DA.files/image006.png">,所以顯然要采用裂項(xiàng)求和的方法求出其前n項(xiàng)和.

(2)因?yàn)楸拘☆}是關(guān)于n的不等式恒成立問題，應(yīng)對n的奇偶進(jìn)行討論.分別再對得到的結(jié)果求交集.

（3）解本小題的關(guān)鍵由，

若成等比數(shù)列，則，即．

從而得,據(jù)此得到m的范圍，找到m的值，進(jìn)一步得到n的值.

解：（1）在中，令，，

得   即      ……1分

解得，，                 ……2分

又時(shí)，滿足，

，    ……3分

．   ……4分

（2）①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．    ……5分

 ，等號在時(shí)取得

此時(shí) 需滿足                      ……6分

②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．     ……7分

 是隨的增大而增大， 時(shí)取得最小值．

此時(shí) 需滿足．           ……8分

綜合①、②可得的取值范圍是．           ……9分

（3），

若成等比數(shù)列，則，……10分

即．                         

由，可得，  ……12分

即，

．           ……13分     

又，且，所以，此時(shí)．

因此，當(dāng)且僅當(dāng)， 時(shí)，數(shù)列中的成等比數(shù)列．    …14分

 [另解] 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011312554691774130/SYS201301131257235740826046_DA.files/image045.png">，故，即，

．

考點(diǎn)：本小題主要考查等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)、求和、對數(shù)的運(yùn)算、直線方程與不等式等知識，考查化歸、轉(zhuǎn)化、方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新能力和綜合應(yīng)用能力.

點(diǎn)評：（1）由a_n與S_n的關(guān)系求通項(xiàng)要注意根據(jù)需要給n賦值，每賦一個(gè)值就可得到一個(gè)方程.

（2）有關(guān)n的不等式恒成立問題，要注意題目當(dāng)中如果有要注意按n為奇偶進(jìn)行討論.

（3）解小題的關(guān)鍵是利用成等比數(shù)列,建立n與m的等式關(guān)系，下一步難點(diǎn)在于對式子的變形處理上，要注意體會其方法.