設F1、F2分別是橢圓
x2
9
+y2=1的左、右焦點．
（I）若M是該橢圓上的一個動點，求
mF1
•
MF2
的最大值和最小值；
（II）設過定點（0，2）的直線l與橢圓交于不同兩點A、B，且∠AOB為鈍角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍．
分析：（I）由根據(jù)題意建立
MF1
•
MF2
關于x的函數(shù)，再求最值；
（II）由∠AOB為鈍角，則有
OA
•
OB
＜0，即x1x2+y1y2＜0，可整理為
27
1+9k2
+
-9k2+4
1+9k2
＜0再求得k2的范圍．
解答：解：（I）由已知a=3，b=1，c=2
2
，則F1(-2
2
，0)，F2(2
2
，0)，設M(x，y)（2分）
MF1
•
MF2
=(-2
2
-x)(2
2
-x)+y2=
8
9
x2-7?x∈[-3，3]（5分）
所以當x=0時，
MF1
•
MF2
有最小值為-7；
當x=±3時，
MF1
•
MF2
有最大值為1．（7分）
（II）設點A（x1，y2），B（x2，y2）直線AB方程：y=kx+2
y=kx+2
x2+9y2=9
?(1+9k2)x2+36kx+27=0，※
有x1+x2=-
36k
1+9k2
，?x1x2=
27
1+9k2
?y1y2=
-9k2+4
1+9k2
（9分）
因為∠AOB為鈍角，
所以
OA
•
OB
＜0，即x1x2+y1y2＜0?
27
1+9k2
+
-9k2+4
1+9k2
＜0（12分）
解得k2＞
31
9
?k＞
31
3
或
31
3
，此時滿足方程※有兩個不等的實根（14分）
故直線l的斜率k的取值范圍k＞
31
3
或k＜-
31
3
點評：本題主要考查橢圓方程及其性質的應用及直線與圓錐曲線的位置關系在構造平面圖形解決有關問題中的應用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設F1，F(xiàn)2分別是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點，若在直線x=
a2
c
上存在點P，使線段PF1的中垂線過點F2，則橢圓的離心率的取值范圍是
（
3
3
，1）
（
3
3
，1）
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點，若橢圓C上的一點A（1，
3
2
）到F1，F(xiàn)2的距離之和為4．
（1）求橢圓方程；
（2）若M，N是橢圓C上兩個不同的點，線段MN的垂直平分線與x軸交于點P，求證：|
OP
|＜
1
2
；
（3）若M，N是橢圓C上兩個不同的點，Q是橢圓C上不同于M，N的任意一點，若直線QM，QN的斜率分別為KQM•KQN．問：“點M，N關于原點對稱”是KQM•KQN=-
3
4
的什么條件？證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•南匯區(qū)二模）設F1、F2分別是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點，其右焦點是直線y=x-1與x軸的交點，短軸的長是焦距的2倍．
（1）求橢圓的方程；
（2）若P是該橢圓上的一個動點，求
PF1
•
PF2
的最大值和最小值；
（3）是否存在過點A（5，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•安徽）設橢圓E：
x2
a2
+
y2
1-a2
=1的焦點在x軸上
（1）若橢圓E的焦距為1，求橢圓E的方程；
（2）設F1，F(xiàn)2分別是橢圓E的左、右焦點，P為橢圓E上第一象限內的點，直線F2P交y軸于點Q，并且F1P⊥F1Q，證明：當a變化時，點P在某定直線上．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•南匯區(qū)二模）設F1、F2分別是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點，其右焦點是直線y=x-1與x軸的交點，短軸的長是焦距的2倍．
（1）求橢圓的方程；
（2）若P是該橢圓上的一個動點，求
PF1
•
PF2
的最大值和最小值；
（3）若P是該橢圓上的一個動點，點A（5，0），求線段AP中點M的軌跡方程．

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