Question

【題目】如圖，在四面體ABCD中，若截面PQMN是正方形，則在下列命題中，錯誤的為（ ）
A.AC⊥BD
B.AC=BD
C.AC∥截面PQMN
D.異面直線PM與BD所成的角為45°

Answer 1

【答案】B
【解析】解：因為截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN、QM∥PN，
則PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA，
所以PQ∥AC，QM∥BD，
由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正確；
由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故C正確；
∵PN⊥PQ，∴AC⊥BD．
由BD∥PN，
∴∠MPN是異面直線PM與BD所成的角，且為45°，D正確；
由上面可知：BD∥PN，PQ∥AC．
∴ ， ，
而AN≠DN，PN=MN，
∴BD≠AC．B錯誤．
故選：B．
【考點精析】認(rèn)真審題，首先需要了解直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行)，還要掌握直線與平面垂直的判定(一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．