已知函數(shù),函數(shù)
.
(I)試求f(x)的單調(diào)區(qū)間。
(II)若f(x)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù),試求實(shí)數(shù)a的取值范圍:
(III)設(shè)數(shù)列是公差為1.首項(xiàng)為l的等差數(shù)列,數(shù)列
的前n項(xiàng)和為
,求證:當(dāng)
時(shí),
.
(Ⅰ)的單調(diào)遞增區(qū)間是
;
的單調(diào)遞減區(qū)間是
;
(Ⅱ).(Ⅲ)見解析.
【解析】
試題分析:(Ⅰ) 利用導(dǎo)數(shù)值非負(fù),得的單調(diào)遞增區(qū)間是
;利用導(dǎo)數(shù)值非正,得到
的單調(diào)遞減區(qū)間是
;
(Ⅱ)利用在
是單調(diào)遞增函數(shù),則
恒成立,只需
恒成立,轉(zhuǎn)化成
,利用
,得到
.
(Ⅲ)依題意不難得到,
=1+
++
,
根據(jù)時(shí),
=
+
在
上為增函數(shù),
可得,從而
;
構(gòu)造函數(shù),利用“導(dǎo)數(shù)法”得到
, 從而不等式
成立.
應(yīng)用“累加法”證得不等式.
本題解答思路比較明確,考查方法較多,是一道相當(dāng)?shù)湫偷念}目.
試題解析:(Ⅰ)=
,所以,
,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014031604540053327851/SYS201403160500399238757051_DA.files/image024.png">,,所以
,令
,
,
所以的單調(diào)遞增區(qū)間是
;
的單調(diào)遞減區(qū)間是
;4分
(Ⅱ)若在
是單調(diào)遞增函數(shù),則
恒成立,即
恒成立
即,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014031604540053327851/SYS201403160500399238757051_DA.files/image005.png">,所以
故
.
.7分
(Ⅲ)設(shè)數(shù)列是公差為1首項(xiàng)為1的等差數(shù)列,所以
,
=1+
++
,
當(dāng)時(shí),由(Ⅱ)知:
=
+
在
上為增函數(shù),
=
-1,當(dāng)
時(shí),
,所以
+
,即
所以;
令,則有
,當(dāng)
,有
則,即
,所以
時(shí),
所以不等式成立.
令且
時(shí),
將所得各不等式相加,得
即
(
且
).
13分
考點(diǎn):應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,“累加法”.
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a |
x |
1 |
x |
4 |
x |
b2 |
x |
8 |
x |
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