Question

（1）求證：函數(shù)f（x）=x+

a

x

是奇函數(shù)；
（2）已知函數(shù)g（x）=x+

1

x

在區(qū)間（0，1）上是單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；函數(shù)g（x）=x+

4

x

在區(qū)間（0，2）上是單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間（2，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；猜想出函數(shù)g（x）=x+

b2

x

，（b＞0），x∈（0，+∞）的單調(diào)區(qū)間；
（3）指出函數(shù)h（x）=x+

8

x

，x∈（-∞，0）在什么時(shí)候取最大值，最大值是多少．

Answer 1

分析：本題考查的是函數(shù)的性質(zhì)問題．在解答時(shí)：
（1）先求函數(shù)的定義域，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義即可獲得問題的解答；
（2）充分觀察已知兩函數(shù)的形式特點(diǎn)，明確a的位置與單調(diào)區(qū)間發(fā)生變化的聯(lián)系，即可進(jìn)行猜測(cè)，進(jìn)而獲得答案；
（3）利用（2）的猜測(cè)以及（1）中的結(jié)論，即可獲得函數(shù)h（x）=x+

8

x

，x∈（-∞，0）時(shí)單調(diào)性的變化情況，進(jìn)而即可獲得問題的解答．

解答：解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋簕x|x≠0}，
任意x∈{x|x≠0}，則f（-x）=-x+

a

-x

=-(x+

a

x

) =-f(x)，
∴函數(shù)f（x）=x+

a

x

是奇函數(shù)；
（2）∵函數(shù)g（x）=x+

1

x

在區(qū)間（0，1）上是單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，即：在區(qū)間（0，

1

）上是單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間（

1

，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；
函數(shù)g（x）=x+

4

x

在區(qū)間（0，2）上是單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間（2，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，即：在區(qū)間（0，

4

）上是單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間（

4

，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；
∴猜測(cè)：函數(shù)g（x）=x+

b2

x

，（b＞0），x∈（0，+∞）的單調(diào)減區(qū)間為（0，b），單調(diào)增區(qū)間為（b，+∞）．
（3）由（2）可知，函數(shù)h（x）=x+

8

x

，x∈（0，+∞）的單調(diào)減區(qū)間為（0，2

2

），單調(diào)增區(qū)間為（2

2

，+∞）．
 又由（1）可知，函數(shù)h（x）為奇函數(shù)．所以函數(shù)h（x）在（-2

2

，0）上為減函數(shù)，在（-∞，-2

2

）上為增函數(shù)．
∴函數(shù)h（x）=x+

8

x

，x∈（-∞，0）在x=-2

2

時(shí)取得最大值，最大值為：h_max（x）=-4

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是函數(shù)的性質(zhì)問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了函數(shù)奇偶性的知識(shí)、歸納猜測(cè)的思想以及利用單調(diào)性求最值的知識(shí)．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．