Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2AB，D，D₁，G分別為AB，A₁B₁，A₁C₁的中點，E、F在BB₁上，且BB₁=4BE=4B₁F．
（1）求證：DG∥平面BCC₁B₁；
（2）求證：平面DEG⊥平面C₁D₁F．

Answer 1

分析：（1）由題意取B₁C₁的中點H，連接GH、BH，只要證明四邊形BDGH為平行四邊形，再利用直線與平面平行的判定定理進行證明，即可解決問題；
（2）已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁為正三棱柱，D₁分別為A₁B₁的中點，取BB₁的中點為P，連接AP、A₁P，則AP∥DE，A₁P∥D₁F，在等腰直角△ABP和△A₁B₁P中，可證AP⊥A₁P，然后利用平面與平面垂直的判定定理進行證明；

解答：證明：（1）如圖，取B₁C₁的中點H，連接GH、BH，
∵D，G分別為AB，A₁C₁的中點，
∴GH∥A₁B₁，GH=

1

2

A1B1，BD=

1

2

AB，
又三棱柱ABC-A₁B₁C₁為正三棱柱，則BD∥GH，BD=GH，
故四邊形BDGH為平行四邊形，
∴DG∥BH，（4分）
又DG?平面BCC₁B₁，BH?平面BCC₁B₁，
∴DG∥平面BCC₁B₁；（6分）
（2）由三棱柱ABC-A₁B₁C₁為正三棱柱，D₁分別為A₁B₁的中點，
∴C₁D₁⊥平面ABB₁A₁，又DE?平面ABB₁A₁，
∴C₁D₁⊥DE，（8分）
取BB₁的中點為P，連接AP、A₁P，則AP∥DE，A₁P∥D₁F，
設AB=a，由AA₁=2AB，BB₁=4BE=4B₁F，
在等腰直角△ABP和△A₁B₁P中，AP=

2

a，A1P=

2

a，
又AA₁=2a，故AA₁²=AP²+A₁P²，則AP⊥A₁P，
∴在平面ABB₁A₁內，DE⊥D₁F，（11分）
又C₁D₁∩D₁F=D₁，C₁D₁?平面C₁D₁F，FD₁?平面C₁D₁F，
∴DE⊥平面C₁D₁F，又DE?平面DEG，
∴平面DEG⊥平面C₁D₁F．（14分）

點評：此題考查直線與平面平行的判斷及平面與平面垂直的判斷，此類問題一般先證明兩個面平行，再證直線和面平行，這種做題思想要記住，此類立體幾何題是每年高考必考的一道大題，同學們要課下要多練習．