(2012•馬鞍山二模)如圖,在正三棱柱ABC一DEF中,AB=2,AD=1,P是CF的延長(zhǎng)線上一點(diǎn),過(guò)A、B、P三點(diǎn)的平面交FD于M,交EF于N.
(I)求證:MN∥平面CDE:
(II)當(dāng)平面PAB⊥平面CDE時(shí),求三梭臺(tái)MNF-ABC的體積.
分析:(Ⅰ)根據(jù)正三棱柱的性質(zhì),平面與平面平行的性質(zhì)定理,可得AB∥MN,結(jié)合DE∥AB得到DE∥MN,最后用線面平行的判定定理,可證出MN∥平面CDE.
(II)取AB中點(diǎn)G、DE中點(diǎn)H,連接PG、CH,利用線面平行的性質(zhì)結(jié)合面面垂直的性質(zhì),可得PG⊥CH,再由平面幾何知識(shí)得Rt△PCG∽R(shí)t△HGC,算出PF=2,進(jìn)而得到FM=
4
3
且△PMN是等邊三角形,最后利用兩個(gè)三棱錐體積相減即可得到三梭臺(tái)MNF-ABC的體積.
解答:解:(Ⅰ)∵正三棱柱ABC一DEF中,平面ABC∥平面DEF,平面PAB∩平面DEF=MN,平面PAB∩平面ABC=AB,
所以AB∥MN;…(2分)
又∵平行四邊形ABED中,DE∥AB,∴DE∥MN,; …(4分)
∵M(jìn)N?平面CDE,DE⊆平面CDE,
∴MN∥平面CDE…(6分)
(Ⅱ)取AB中點(diǎn)G、DE中點(diǎn)H,連接PG、CH,則
由GH∥PC知P、C、G、H在同一平面上,并且由PA=PB知PG⊥AB,
類似于(Ⅰ)的證明方法可得AB平行于平面PAB與平面CDE的交線,
因此PG也垂直于該交線,
由此可得,若平面PAB⊥平面CDE,則PG⊥平面CDE,可得PG⊥CH
根據(jù)平面幾何知識(shí),得Rt△PCG∽R(shí)t△HGC,所以
PC
CG
=
PC
GH
…(8分)
設(shè)PF=t,則
1+t
3
=
3
1
,可得t=2…(10分)
從而
MF
AC
=
PF
PC
,得到MF=
4
3

∴VNMF-ABC=VP-ABC-VP-MNF=
1
3
×
3
4
[22×3-(
4
3
2×2]=
19
3
27
…(13分)
點(diǎn)評(píng):本題在一個(gè)正三棱柱中探索面面垂直問(wèn)題,并求截出三棱臺(tái)的體積,著重考查了線面位置關(guān)系、臺(tái)體體積求法等有關(guān)知識(shí),考查學(xué)生空間想象能力,屬于中等題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•馬鞍山二模)設(shè)同時(shí)滿足條件:①
bn+bn+2
2
bn+1
;②bn≤M(n∈N+,M是與n無(wú)關(guān)的常數(shù))的無(wú)窮數(shù)列{bn}叫“嘉文”數(shù)列.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足:Sn=
a
a-1
(an-1)
(a為常數(shù),且a≠0,a≠1).
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=
2Sn
an
+1
,若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,求a的值,并證明此時(shí){
1
bn
}
為“嘉文”數(shù)列.

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(2012•馬鞍山二模)現(xiàn)對(duì)某市工薪階層關(guān)于“樓市限購(gòu)政策”的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查,隨機(jī)抽查了50人,他們?cè)率杖耄▎挝唬喊僭┑念l數(shù)分布及對(duì)“樓市限購(gòu)政策”贊成人數(shù)如下表:
月收入(單位百元) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75)
頻數(shù) 5 10 15 10 5 5
贊成人數(shù) 4 8 12 5 2 1
(Ⅰ)根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表,并回答是否有99%的把握認(rèn)為月收入以5500元為分界點(diǎn)對(duì)“樓市限購(gòu)政策”的態(tài)度有差異?
月收入不低于55百元的人數(shù) 月收入低于55百元的人數(shù) 合計(jì)
贊成 a= b=
不贊成 c= d=
合計(jì)
(Ⅱ)若從月收入在[55,65)的被調(diào)查對(duì)象中隨機(jī)選取兩人進(jìn)行調(diào)查,求至少有一人不贊成“樓市限購(gòu)政策”的概率.
(參考公式:K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
,其中n=a+b+c+d.)
參考值表:
P(k2≥k0 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•馬鞍山二模)已知橢圓C1
x2
m+2
+
y2
n
=1
與雙曲線C2
x2
m
-
y2
n
=1
共焦點(diǎn),則橢圓C1的離心率e的取值范圍為(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•馬鞍山二模)己知在銳角△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a、b、c,向量
m
=(a2+b2-c2,ab),
n
=(sinC,-cosC),且
m
n

(I)求角C的大;
(II)當(dāng)c=1時(shí),求a2+b2的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•馬鞍山二模)設(shè)x1,x2是關(guān)于x的方程x2+mx+
1+m2
=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,那么過(guò)兩點(diǎn)A(x1x12),B(x2x22)的直線與圓x2+y2=2的位置關(guān)系是( 。

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