(2013•北京)如圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖,空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良,空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染.某人隨機選擇3月1日至3月15日中的某一天到達該市,并停留2天.

(Ⅰ)求此人到達當日空氣重度污染的概率;
(Ⅱ)設x是此人停留期間空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù),求X的分布列與數(shù)學期望;
(Ⅲ)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大?(結論不要求證明)
分析:(I)由題意此人隨機選擇某一天到達該城市且停留2天,因此他必須在3月1日至13日的某一天到達該城市,由圖可以看出期間有2天屬于重度污染,據(jù)此即可得到所求概率;
(II)由題意可知X所有可能取值為0,1,2.由圖可以看出在3月1日至14日屬于優(yōu)良天氣的共有7天.①當此人在3月4號,5號,8號,9號,10號這5天的某一天到達該城市時,停留的2天都不是優(yōu)良天氣;②當此人在3月3號,6號,7號,11號,這4天的某一天到達該城市時,停留的2天1不是優(yōu)良天氣1天是優(yōu)良天氣;③當此人在3月1號,2號,12號,13號,這4天的某一天到達該城市時,停留的2天都是優(yōu)良天氣根據(jù)以上分析即可得出P(X=0),P(X=1),p(x=2)及分布列與數(shù)學期望.
(III)由圖判斷從3月5天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)波動最大,因此方差最大.
解答:解:(I)設“此人到達當日空氣重度污染”為事件A.
因為此人隨機選擇某一天到達該城市且停留2天,因此他必須在3月1日至13日的某一天到達該城市,由圖可以看出期間有2天屬于重度污染,故P(A)=
2
13

(II)由題意可知X所有可能取值為0,1,2.
由圖可以看出在3月1日至14日屬于優(yōu)良天氣的共有7天.
①當此人在3月4號,5號,8號,9號,10號這5天的某一天到達該城市時,停留的2天都不是優(yōu)良天氣,故P(X=0)=
5
13
;
②當此人在3月3號,6號,7號,11號,這4天的某一天到達該城市時,停留的2天中的1天不是優(yōu)良天氣1天是優(yōu)良天氣,故P(X=1)=
4
13

③當此人在3月1號,2號,12號,13號,這4天的某一天到達該城市時,停留的2天都是優(yōu)良天氣,故P(X=2)=
4
13

故X的分布列為
X 0 1 2
P
5
13
 
4
13
 
4
13
 
∴E(X)=
5
13
+1×
4
13
+2×
4
13
=
12
13

(III)由圖判斷從3月5天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)波動最大,因此方差最大.
點評:本題考查了正確理解題意及識圖的能力、古典概型的概率計算、隨機變量的分布列及數(shù)學期望與方差,考查了數(shù)形結合的思想方法及審題與計算的能力.
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2
5
5
2
5
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