(2013•北京)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是邊長為4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(Ⅰ)求證:AA1⊥平面ABC;
(Ⅱ)求證二面角A1-BC1-B1的余弦值;
(Ⅲ)證明:在線段BC1上存在點(diǎn)D,使得AD⊥A1B,并求
BDBC1
的值.
分析:(I)利用AA1C1C是正方形,可得AA1⊥AC,再利用面面垂直的性質(zhì)即可證明;
(II)利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC.通過建立空間直角坐標(biāo)系,利用兩個(gè)平面的法向量的夾角即可得到二面角;
(III)設(shè)點(diǎn)D的豎坐標(biāo)為t,(0<t<4),在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E,可得D(t,
3
4
(4-t),t)
,利用向量垂直于數(shù)量積得關(guān)系即可得出.
解答:(I)證明:∵AA1C1C是正方形,∴AA1⊥AC.
又∵平面ABC⊥平面AA1C1C,平面ABC∩平面AA1C1C=AC,
∴AA1⊥平面ABC.
(II)解:由AC=4,BC=5,AB=3.
∴AC2+AB2=BC2,∴AB⊥AC.
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A1(0,0,4),B(0,3,0),B1(0,3,4),C1(4,0,4),
BC1
=(4,-3,4)
,
BA1
=(0,-3,4)
,
BB1
=(0,0,4)

設(shè)平面A1BC1的法向量為
n1
=(x1,y1,z1)
,平面B1BC1的法向量為
n2
=(x2,y2,z2).
n1
BC1
=4x1-3y1+4z1=0
n1
BA1
=-3y1+4z1=0
,令y1=4,解得x1=0,z1=3,∴
n1
=(0,4,3)

n2
BC1
=4x2-3y2+4z2=0
n2
BB1
=4z2=0
,令x2=3,解得y2=4,z2=0,∴
n2
=(3,4,0)

cos<
n1
,
n2
=
n1
n2
|
n1
| |
n2
|
=
16
25
25
=
16
25

∴二面角A1-BC1-B1的余弦值為
16
25

(III)設(shè)點(diǎn)D的豎坐標(biāo)為t,(0<t<4),在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E,可得D(t,
3
4
(4-t),t)
,
AD
=(t,
3
4
(4-t),t)
,
A1B
=(0,3,-4),
AD
A1B
,∴
AD
A1B
=0
,
0+
9
4
(4-t)-4t=0
,解得t=
36
25

BD
BC1
=
DE
CC1
=
9
25
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理、面面垂直的性質(zhì)定理、通過建立空間直角坐標(biāo)系利用法向量求二面角的方法、向量垂直與數(shù)量積得關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法,考查了空間想象能力、推理能力和計(jì)算能力.
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2
5
5
2
5
5

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