【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ax,(a∈R)
(1)若函數(shù)f(x)在點(1,f(1))處切線方程為y=3x+b,求a,b的值;
(2)當(dāng)a>0時,求函數(shù)f(x)在[1,2]上的最小值;
(3)設(shè)g(x)=x2﹣2x+2,若對任意x1∈(0,+∞),均存在x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范圍.
【答案】
(1)解:由f(x)=lnx﹣ax得 ,
f'(1)=31﹣a=3a=﹣2,
則f(x)=lnx+2x,f(1)=2點(1,2)為切點,
則2=3+b
b=﹣1,
(2)解:由f(x)=lnx﹣ax ,
∴f(x)在(0, )遞增,在( ,+∞)遞減,
①當(dāng) ≤1,即a≥1時,函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù),
∴f(x)的最小值是f(2)=ln2﹣2a;
②當(dāng) ≥2,即 時,函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù),
∴f(x)的最小值是f(1)=﹣a;
③當(dāng)1< <2,即 <a<1時,函數(shù)f(x)在[1, ]上是增函數(shù),在[ ,2]是減函數(shù).
又f(2)﹣f(1)=ln2﹣a,
∴當(dāng) <a<ln2時,最小值是f(1)=﹣a,
當(dāng)ln2≤a<1時,最小值為f(2)=ln2﹣2a;
綜上可知,當(dāng)0<a<ln2時,函數(shù)f(x)的最小值是f(x)min=﹣a;
當(dāng)a≥ln2時,函數(shù)f(x)的最小值是f(x)min=ln2﹣2a,
(3)解:由條件得f(x1)max<g(x2)max,
又∵g(x2)max=2,
∴f(x1)max<2.
若a≤0,則f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
x→+∞,f(x)→+∞,不符題意;
∴a>0由Ⅱ可知 ,
得:
【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)f'(1)=3,求出a的值,根據(jù)f(1)=2求出b的值即可;(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,通過討論a的范圍,求出函數(shù)的最小值即可;(3)問題轉(zhuǎn)化為f(x1)max<g(x2)max , 結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可.
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點,需要掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】來自某校一班和二班的共計9名學(xué)生志愿服務(wù)者被隨機(jī)平均分配到運送礦泉水、清掃衛(wèi)生、維持秩序這三個崗位服務(wù),且運送礦泉水崗位至少有一名一班志愿者的概率是.
(Ⅰ)求清掃衛(wèi)生崗位恰好一班1人、二班2人的概率;
(Ⅱ)設(shè)隨機(jī)變量為在維持秩序崗位服務(wù)的一班的志愿者的人數(shù),求分布列及期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有下列命題:
①冪函數(shù)f(x)= 的單調(diào)遞減區(qū)間是(﹣∞,0)∪(0,+∞);
②若函數(shù)f(x+2016)=x2﹣2x﹣1(x∈R),則函數(shù)f(x)的最小值為﹣2;
③若函數(shù)f(x)=loga|x|(a>0,a≠1)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則f(﹣2)<f(a+1);
④若f(x)= 是(﹣∞,+∞)上的減函數(shù),則a的取值范圍是( , );
⑤既是奇函數(shù),又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)=0(x∈R).
其中正確命題的序號有 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 =1(a>b>0)的焦點是F1、F2 , 且|F1F2|=2,離心率為 . (Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若過橢圓右焦點F2的直線l交橢圓于A,B兩點,求|AF2||F2B|的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ax,(a∈R)
(1)若函數(shù)f(x)在點區(qū)間[e,+∞]處上為增函數(shù),求a的取值范圍;
(2)若函數(shù)f(x)的圖象在點x=e(e為自然對數(shù)的底數(shù))處的切線斜率為3,且k∈Z時,不等式 k(x﹣1)<f(x)在x∈(1,+∞)上恒成立,求k的最大值;
(3)n>m≥4時,證明:(mnn)m>(nmm)n .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)是連續(xù)的偶函數(shù),且當(dāng)x>0時,f(x)是單調(diào)函數(shù),則滿足f(x)=f( )的所有x之和為( )
A.﹣4031
B.﹣4032
C.﹣4033
D.﹣4034
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的定義域,判斷并證明的奇偶性;
(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性;
(3)解不等式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(, 為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若,函數(shù)在上為增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
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