【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ax,(a∈R)
(1)若函數(shù)f(x)在點(diǎn)區(qū)間[e,+∞]處上為增函數(shù),求a的取值范圍;
(2)若函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)x=e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))處的切線斜率為3,且k∈Z時(shí),不等式 k(x﹣1)<f(x)在x∈(1,+∞)上恒成立,求k的最大值;
(3)n>m≥4時(shí),證明:(mnn)m>(nmm)n .
【答案】
(1)解:∵f(x)=ax+xlnx,
又函數(shù)f(x)在區(qū)間[e,+∞)上為增函數(shù),
∴當(dāng)x≥e時(shí),f'(x)=a+1+lnx≥0恒成立,
∴a≥(﹣1﹣lnx)max=﹣1﹣lne=﹣2,
即a的取值范圍為[﹣2,+∞);
(2)解:因?yàn)閒(x)=ax+xlnx(a∈R),
所以f'(x)=a+lnx+1f(x)在點(diǎn)x=e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))處的切線斜率為3,
f'(e)=3,即a+lne+1=3,∴a=1
當(dāng)x>1時(shí),x﹣1>0,故不等式 ,
即 對(duì)任意x>1恒成立,
令 則 .
令h(x)=x﹣lnx﹣2(x>1),
則 在(1,+∞)上單增,
∵h(yuǎn)(3)=1﹣ln3<0,h(4)=2﹣ln4>0,
∴存在x0∈(3,4)使h(x0)=0,
即當(dāng)1<x<x0時(shí),h(x)<0,即g'(x)<0,
當(dāng)x>x0時(shí),h(x)>0,即g'(x)>0,
∴g(x)在(1,x0)上單減,在(x0,+∞)上單增.
令h(x0)=x0﹣lnx0﹣2=0,即lnx0=x0﹣2,
∴k<g(x)min=x0且k∈Z,
即kmax=3
(3)證明:由(2)知, 是[4,+∞)上的增函數(shù),
所以當(dāng)n>m≥4,
整理,得mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn+n﹣m
因?yàn)閚>m,mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn…
即lnnmn+lnmm>lnmmn+lnnn,
ln(nmnmm)>ln(mmnnn),
nmnmm>mmnnn,
∴(mnn)m>(nmm)n
【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到a≥(﹣1﹣lnx)max=﹣1﹣lne=﹣2,從而求出a的范圍即可;(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求出a的值,得到 對(duì)任意x>1恒成立,令 ,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g(x)的最小值,從而求出k的最大值;(3)當(dāng)n>m≥4,得到 ,整理即可.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí),掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減,以及對(duì)函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解,了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司的兩個(gè)部門(mén)招聘工作人員,應(yīng)聘者從 T1、T2兩組試題中選擇一組參加測(cè)試,成績(jī)合格者可簽約.甲、乙、丙、丁四人參加應(yīng)聘考試,其中甲、乙兩人選擇使用試題 T1 , 且表示只要成績(jī)合格就簽約;丙、丁兩人選擇使用試題 T2 , 并約定:兩人成績(jī)都合格就一同簽約,否則兩人都不簽約.已知甲、乙考試合格的概率都是 ,丙、丁考試合格的概率都是 ,且考試是否合格互不影響.
(1)求丙、丁未簽約的概率;
(2)記簽約人數(shù)為 X,求 X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:函數(shù)f(x)=loga(2+x)﹣loga(2﹣x)(a>0且a≠1)
(Ⅰ)求f(x)定義域;
(Ⅱ)判斷f(x)的奇偶性,并說(shuō)明理由;
(Ⅲ)求使f(x)>0的x的解集.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ax,(a∈R)
(1)若函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處切線方程為y=3x+b,求a,b的值;
(2)當(dāng)a>0時(shí),求函數(shù)f(x)在[1,2]上的最小值;
(3)設(shè)g(x)=x2﹣2x+2,若對(duì)任意x1∈(0,+∞),均存在x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】以下是某地搜集到的新房屋的銷(xiāo)售價(jià)格和房屋的面積的數(shù)據(jù):
房屋面積() | 115 | 110 | 80 | 135 | 105 |
銷(xiāo)售價(jià)格(萬(wàn)元) | 24.8 | 21.6 | 18.4 | 29.2 | 22 |
(1)畫(huà)出數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖;
(2)求線性回歸方程,并在散點(diǎn)圖中加上回歸直線;
(3)據(jù)(2)的結(jié)果估計(jì)當(dāng)房屋面積為150時(shí)的銷(xiāo)售價(jià)格.附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為:
,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)擬在高一下學(xué)期開(kāi)設(shè)游泳選修課,為了了解高一學(xué)生喜歡游泳是否與性別有關(guān),現(xiàn)從高一學(xué)生中抽取人做調(diào)查,得到如下列聯(lián)表:
已知在這人中隨機(jī)抽取一人抽到喜歡游泳的學(xué)生的概率為,
(Ⅰ)請(qǐng)將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有%的把握認(rèn)為喜歡游泳與性別有關(guān)?并說(shuō)明你的理由;
(Ⅱ)針對(duì)問(wèn)卷調(diào)查的名學(xué)生,學(xué)校決定從喜歡游泳的人中按分層抽樣的方法隨機(jī)抽取人成立游泳科普知識(shí)宣傳組,并在這人中任選兩人作為宣傳組的組長(zhǎng),求這兩人中至少有一名女生的概率,參考公式: ,其中.參考數(shù)據(jù):
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓錐曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2= ,F(xiàn)1是圓錐曲線C的左焦點(diǎn).直線l: (t為參數(shù)).
(1)求圓錐曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線l與圓錐曲線C交于M,N兩點(diǎn),求|F1M|+|F1N|.
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【題目】某市規(guī)定,高中學(xué)生三年在校期間參加不少于小時(shí)的社區(qū)服務(wù)才合格.教育部門(mén)在全市隨機(jī)抽取200位學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的數(shù)據(jù),按時(shí)間段,,,
,(單位:小時(shí))進(jìn)行統(tǒng)計(jì),其頻率分布直方圖如圖所示.
(Ⅰ)求抽取的200位學(xué)生中,參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的學(xué)生人數(shù),并估計(jì)
從全市高中學(xué)生中任意選取一人,其參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的概率;
(Ⅱ)從全市高中學(xué)生(人數(shù)很多)中任意選取3位學(xué)生,記為3位學(xué)生中參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的人數(shù).試求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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