Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)關(guān)于的方程的兩個(gè)不等實(shí)根，求證：（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】試題分析:(1)求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù),對(duì)參數(shù)m進(jìn)行討論得出函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù),求出m的取值范圍;(2) 記函數(shù)，，則函數(shù)的兩個(gè)相異零點(diǎn)為,將零點(diǎn)代入寫出方程,并對(duì)兩式相加和相減,再利用分析法以及變量集中構(gòu)造新函數(shù),并利用導(dǎo)數(shù)求最值的方法證得命題成立.

試題解析:

（1）由題意知的定義域?yàn)?/span>，

且.

①當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

又，，

∴，即函數(shù)在區(qū)間有唯一零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，，

令，得.

又易知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

∴恰有一個(gè)零點(diǎn).

③當(dāng)時(shí)，令，得，

在區(qū)間上，，函數(shù)單調(diào)遞增；

在區(qū)間上，，函數(shù)單調(diào)遞減，

故當(dāng)時(shí)，取得極大值，

且極大值為，無極小值.

若恰有一個(gè)零點(diǎn)，則，解得，

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.

（2）記函數(shù)，，

則函數(shù)的兩個(gè)相異零點(diǎn)為

不妨設(shè)，

∵，，

∴，，

兩式相減得，

兩式相加得.

∵，

∴要證，即證，

只需證，

只需證，

即證，

設(shè)，則上式轉(zhuǎn)化為，

設(shè)，，

∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，

∴，∴，

即，即.

點(diǎn)睛:本題考查函數(shù)的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)以及函數(shù)的單調(diào)性,最值和不等式的證明等問題. 本題也考查了零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用,如果函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有,那么函數(shù)在區(qū)間[a,b]內(nèi)有零點(diǎn),即存在,使得,這個(gè)c也就是方程的實(shí)數(shù)根.但是反之不一定成立.