Question

已知函數定義域為(),設.

(Ⅰ)試確定的取值范圍,使得函數在上為單調函數；

(Ⅱ)求證:；

(Ⅲ)求證:對于任意的,總存在,滿足,并確定這樣的的個數.

Answer 1

，且當時,有唯一的適合題意；當時,有兩個適合題意

解析:

【解】 (Ⅰ)解:因為…………………………(2分)

由；由,所以在上遞增,

在上遞減 …………………………………………………………………(4分)

欲在上為單調函數,則……………………………(5分)

(Ⅱ)證:因為在上遞增,在上遞減,所以在處取得極小值(7分)

 又,所以在上的最小值為 …………………………(9分)

 從而當時,,即………………………(10分)

(Ⅲ)證:因為,所以即為,

   令,從而問題轉化為證明方程=0

在上有解,并討論解的個數…………………………………………(12分)

   因為,,所以

   ①當時,,所以在上有解,且只有一解 …(13分)

②當時,,但由于,

所以在上有解,且有兩解 …………………………………(14分)

③當時,,所以在上有且只有一解；

當時,,

所以在上也有且只有一解………………………………(15分)

綜上所述, 對于任意的,總存在,滿足,

且當時,有唯一的適合題意；當時,有兩個適合題意……(16分)

(說明:第(Ⅱ)題也可以令,,然后分情況證明在其值域內,并討論直線與函數的圖象的交點個數即可得到相應的的個數)

w.w.w.k.s.5.u.c.o.