Question

（14分）（理）在長方體ABCD—A₁B₁C₁D₁，中，AD=AA₁=1，AB=2，點E在棱
AD上移動．
（1）證明：D₁E⊥A₁D；
（2）當E為AB的中點時，求點E到面ACD₁的距離；
（3）AE等于何值時，二面角D₁—EC—D的大小為。

Answer 1

解法（一）
（1）證明：∵AE⊥平面AA₁DD₁，A₁D⊥AD₁，∴A₁D⊥D₁E
（2）設點E到面ACD₁的距離為h，在△ACD₁中，AC=CD₁=，AD₁=，
故

（3）過D作DH⊥CE于H，連D₁H、DE，則D₁H⊥CE，
∴∠DHD₁為二面角D₁—EC—D的平面角．
設AE=x，則BE=2－x


解法（二）：以D為坐標原點，直線DA，DC，DD₁分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系
設AE=x，則A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）
（1）
（2）因為E為AB的中點，則E（1，1，0），從而，
，設平面ACD₁的法向量為，則
也即，得，從而，所以點E到平面AD₁C的距離為

（3）設平面D₁EC的法向量，∴
由 令b="1," ∴c=2,a=2－x，
∴
依題意
∴（不合，舍去）， ．
∴AE=時，二面角D₁—EC—D的大小為．

解析