【題目】(本小題滿分12分)已知函數(shù)在其定義域內有兩個不同的極值點.

（1）求實數(shù)的取值范圍；

（2）設兩個極值點分別為，證明：.

【答案】(1)；(2)證明見解析.

【解析】

試題分析：(1)因為函數(shù)在定義域內有兩個不同的極值點,所以導函數(shù)等于的方程有兩個不等的實根,再通過分離轉化為兩個基本函數(shù)有兩個不同的交點,函數(shù)與直線相切時為臨界值；(2)因為是兩個極值點,代入方程,由參變分離,可以把用來表示.要證,即證,即,把用換掉,變量集中構造新函數(shù)求導判斷單調性求出最值.

試題解析：解：（1）依題意，函數(shù)的定義域為，∴方程在上有兩個不同根，

即方程在上有兩個不同根.

轉化為函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個不同交點，如圖，

可見，若令過原點且切于函數(shù)圖象的直線斜率為，只需.

令切點，∴，

又，∴，解得，

于是，∴.

（2）由（1）可知分別是方程的兩根，即，，

設，作差得，即.

原不等式等價于

令，則，，

設，，，

∴函數(shù)在上單調遞增，∴，即不等式成立，

故所證不等式成立.

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】如圖，在正三棱柱中，已知，分別為，的中點，點在棱上，且．求證：

（1）直線∥平面；

（2）直線平面．

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【題目】已知直線（為參數(shù)），曲線（為參數(shù)）．

（I）設與相交于兩點，求；

（II）若把曲線上各點的橫坐標壓縮為原來的倍，縱坐標壓縮為原來的倍，得到曲線．設點是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的最小值．

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【題目】某企業(yè)生產甲、乙兩種產品均需用兩種原料，已知每種產品各生產噸所需原料及每天原料的可用限額如下表所示，如果生產噸甲產品可獲利潤3萬元，生產噸乙產品可獲利萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為___________萬元．

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【題目】重慶八中大學城校區(qū)與本部校區(qū)之間的駕車單程所需時間為，只與道路暢通狀況有關，對其容量為500的樣本進行統(tǒng)計，結果如下：

（分鐘）

25

30

35

40

頻數(shù)（次）

100

150

200

50

以這500次駕車單程所需時間的頻率代替某人1次駕車單程所需時間的概率．

（1）求的分布列與；

（2）某天有3位教師獨自駕車從大學城校區(qū)返回本部校區(qū)，記表示這3位教師中駕車所用時間少于的人數(shù)，求的分布列與；

（3）下周某天張老師將駕車從大學城校區(qū)出發(fā)，前往本部校區(qū)做一個50分鐘的講座，結束后立即返回大學城校區(qū)，求張老師從離開大學城校區(qū)到返回大學城校區(qū)共用時間不超過120分鐘的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】關于空間直角坐標系中的一點，有下列說法：

①點到坐標原點的距離為；

②的中點坐標為；

③點關于軸對稱的點的坐標為；

④點關于坐標原點對稱的點的坐標為；

⑤點關于坐標平面對稱的點的坐標為.

其中正確的個數(shù)是

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】 已知函數(shù)（其中為參數(shù)）.

（1）當時，證明：不是奇函數(shù)；

（2）如果是奇函數(shù)，求實數(shù)的值；

（3）已知，在（2）的條件下，求不等式的解集.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)，．

（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間及所有零點；

（2）設，，為函數(shù)圖象上的三個不同點，且

．問：是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在點處的切線與直線平行？若存在，求出所有滿足條件的實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是菱形，且.點

是棱的中點，平面與棱交于點.

（1）求證：∥；

（2）若，且平面平面，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

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