【題目】如圖所示,該幾何體是由一個(gè)直三棱柱ADE﹣BCF和一個(gè)正四棱錐P﹣ABCD組合而成,AD⊥AF,AE=AD=2.
(Ⅰ)證明:平面PAD⊥平面ABFE;
(Ⅱ)求正四棱錐P﹣ABCD的高h(yuǎn),使得二面角C﹣AF﹣P的余弦值是 .
【答案】證明:(Ⅰ)∵幾何體是由一個(gè)直三棱柱ADE﹣BCF和一個(gè)正四棱錐P﹣ABCD組合而成,
∴AD⊥AF,AD⊥AB,
又AF∩AB=A,
∴AD⊥平面ABEF,
又AD平面PAD,
∴平面PAD⊥平面ABFE.
解:(Ⅱ)以A 為原點(diǎn),AB、AE、AD的正方向?yàn)閤,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz
設(shè)正四棱棱的高為h,AE=AD=2,
則A(0,0,0),F(xiàn)(2,2,0),C(2,0,2),P(1,﹣1,1)
設(shè)平面ACF的一個(gè)法向量 =(x,y,z),
=(2,2,0), =(2,0,2),
則 ,取x=1,得 =(1,﹣1,﹣1),
設(shè)平面ACP的一個(gè)法向量 =(a,b,c),
則 ,取b=1,則 =(﹣1,1,1+h),
二面角C﹣AF﹣P的余弦值 ,
∴|cos< >|= = = ,
解得h=1.
【解析】(Ⅰ)推導(dǎo)出AD⊥AF,AD⊥AB,從而AD⊥平面ABEF,由此能證明平面PAD⊥平面ABFE.(Ⅱ)以A 為原點(diǎn),AB、AE、AD的正方向?yàn)閤,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz,利用向量法能求出h的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓M的圓心M在x軸上,半徑為1,直線 ,被圓M所截的弦長(zhǎng)為 ,且圓心M在直線l的下方.
(I)求圓M的方程;
(II)設(shè)A(0,t),B(0,t+6)(﹣5≤t≤﹣2),若圓M是△ABC的內(nèi)切圓,求△ABC的面積S的最大值和最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)A(﹣ ,0),B( ,0),動(dòng)點(diǎn)E滿足直線EA與直線EB的斜率之積為﹣ .
(1)求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡C的方程;
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)F(1,0)的直線l1與曲線C交于點(diǎn)P,Q,記點(diǎn)P到直線l2:x=2的距離為d.
(。┣ 的值;
(ⅱ)過(guò)點(diǎn)F作直線l1的垂線交直線l2于點(diǎn)M,求證:直線OM平分線段PQ.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在邊長(zhǎng)為3的正三角形中, , , 分別為, , 上的點(diǎn),且滿足.將沿折起到的位置,使平面平面,連結(jié), , .(如圖2)
(Ⅰ)若為中點(diǎn),求證: 平面;
(Ⅱ)求證: ;
(Ⅲ)求與平面所成角的正切.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線l1:x+my+6=0,l2:(m﹣2)x+3y+2m=0,求:
(1)若l1⊥l2 , 求m的值;
(2)若l1∥l2 , 求m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知⊙O:x2+y2=1和定點(diǎn)A(2,1),由⊙O外一點(diǎn)P(a,b)向⊙O引切線PQ,切點(diǎn)為Q,且滿足|PQ|=|PA|.
(1)求實(shí)數(shù)a,b間滿足的等量關(guān)系;
(2)求線段PQ長(zhǎng)的最小值;
(3)若以P為圓心所作的⊙P與⊙O有公共點(diǎn),試求半徑最小值時(shí)⊙P的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方體ABCD﹣A'B'C'D'中,點(diǎn)P在線段AD'上,且AP≤ AD'則異面直線CP與BA'所成角θ的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,PA⊥平面ABCD,N是PC的中點(diǎn).
(Ⅰ)若PA=1,求二面角B﹣PC﹣D的大。
(Ⅱ)求AN與平面PCD所成角的正弦值的最大值.
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