Question

【題目】已知函數f（x）=（x﹣2）ex+ax（a∈R）
（1）試確定函數f（x）的零點個數；
（2）設x1 ， x2是函數f（x）的兩個零點，當x1+x2≤2時，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=（x﹣2）ex+ax=0得ax=（2﹣x）ex，

令g（x）=（2﹣x）ex，則g′（x）=﹣ex+（2﹣x）ex=（1﹣x）ex，

∴當x＞1時，g′（x）＜0，當x＜1時，g′（x）＞0，

∴g（x）在（﹣∞，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，

∴當x=1時，函數g（x）有最大值g（1）=e，

又當x＜1時，g（x）=（2﹣x）ex＞0，g（2）=0；

作出y=g（x）與y=ax的函數圖象如圖所示：

∴當a≥0時，y=ax與g（x）只有一個公共點，從而函數f（x）有一個零點；

當a＜0時，y=ax與g（x）有兩個公共點，從而函數f（x）有兩個零點．

（2）解：設x1＜x2，由（I）知a＜0且x1＜0，x2＞2，

由f（x1）=（x1﹣2）e +ax1=0，得a= （x1＜0），

由f（x2）=（x2﹣2）e +ax2=0，得a= （x2＞2）．

∴a2= ，

∵x1+x2≤2，∴4﹣2（x1+x2）≥0，0＜e ≤e2，（當且僅當x1+x2=2時取等號）

∴4﹣2（x1+x2）+x1x2≥x1x2，又x1x2＜0，

∴ ≤1，

∴a2≤e ≤e2，

又a＜0，∴﹣e≤a＜0．

【解析】（1）做出y=（2﹣x）ex和y=ax的函數圖象，根據函數圖象的交點個數判斷；（2）分別用x1 ， x2表示出a，得出a2關于x1 ， x2的表達式，利用不等式的性質化簡得出a2的范圍，從而得出a的范圍．